1、第7讲抛物线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2015合肥质量检测)抛物线x2y的焦点坐标为_解析抛物线x2y的焦点坐标是.答案2(2015南通调研)设抛物线C：y24x的焦点为F，M为抛物线C上一点，且点M的横坐标为2，则MF_.解析由抛物线的定义可知MFxM213.答案33点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是_解析分两类a0，a0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程解设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为yx，由得x0或x.A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，2pk)，由OA1
2、，OB8，可得解方程组得k664，即k24.则p2.又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.10设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点(1)设l的斜率为1，求AB；(2)求证：是一个定值(1)解由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x1，直线l的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，由直线l过焦点，则ABAFBFx1x228.(2)证明设直线l的方程为xky1，由得y24ky40.解上述方程根后得，y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y
3、2k(y1y2)1y1y24k24k2143.是一个定值能力提升题组(建议用时：25分钟)1(2015太原模拟)已知P是抛物线y22x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1d2的最小值是_解析因为点P在抛物线上，所以d1PF(其中点F为抛物线的焦点)，则d1d2PFPAAF5，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号答案2(2014四川卷改编)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是_解析如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m0，n0，则(m2，m)，(n2，n)，m
4、2n2mn2，解得mn1(舍)或mn2.lAB：(m2n2)(yn)(mn)(xn2)，即(mn)(yn)xn2，令y0，解得xmn2，C(2,0)SAOBSAOCSBOC2m2(n)mn，SAOFmm，则SAOBSAOFmnmmnm23，当且仅当m，即m时等号成立故ABO与AFO面积之和的最小值为3.答案33(2014湖南卷)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_解析设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y24x.过点P(1,
5、0)，斜率为k的直线为yk(x1)由得ky24y4k0.当k0时，显然不符合题意；当k0时，依题意得(4)24k4k0，化简得k210，解得k1或k1，因此k的取值范围为(，1)(1，)答案(，1)(1，)4. 已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直线AO，BO分别交直线l：yx2于M，N两点，求MN的最小值解(1)由题意可设抛物线C的方程为x22py(p0)，则1，所以抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，利用求根公式可求两根，并计算得x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4.由解得点M的横坐标xM.同理，点N的横坐标xN.所以MN|xMxN|8，令4k3t，t0，则k.当t0时，MN22.当t0时，MN2 .综上所述，当t，即k时，MN的最小值是 .
