1、安徽省淮南一中2020-2021学年高二数学上学期12月联考试题 理考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效4本卷命题范围：必修2（40%），选修2-1（60%）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题，
2、则是（ ）A B C D2下列说法正确的是（ ）A棱台的各侧棱延长后不一定交于一点B所有的几何体的表面都能展成平面图形C棱锥（，且）至少有个面是三角形D直角三角形绕它的一条边旋转所形成的几何体是一个圆锥3“”是“椭圆的左焦点为”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4焦点为的抛物线的标准方程为（ ）A B C D5刘徽九章算术商功中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫“阳马”，如图是一个阳马的三视图，则此阳马的体积为（ ）A B C1 D26已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，则平面与平面的位置关系是（ ）A平行 B垂直 C相交但不垂直 D
3、不确定7已知双曲线的一条渐近线垂直于直线，则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C5 D8已知直线，则当变化时，直线恒过定点（ ）A B C D9已知平面内有两点，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（ ）A B C2 D10已知点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长的最小值是（ ）A2 B1 C D11抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是（ ）A B C4 D612已知点是双曲线的左、右顶点，是双曲线的左、右焦点，若是双曲线上异于的动点，且直线的斜率之积为定值4，则（ ）A2 B C D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知圆与圆相交，它们公共弦所在直线的
4、方程是_14椭圆的焦点是，点在椭圆上，若，则_15地球的北纬30线中国段被誉为中国最美风景走廊，东起舟山（东经123），西至普兰（东经81），“英雄城市”武汉（东经114）也在其中，假设地球是一个半径为的标准球体，某旅行者从武汉出发，以离普兰不远的冷布岗日峰（东经84）为目的地，沿纬度线前行，则该行程的路程为_（用含的代数式表示）16如图，在正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是_（填序号）异面直线与所成角的余弦值为，平面；直线与平面所成角的正弦值为；二面角的余弦值为三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知函数在上单调递减；若都为真命题，求实
5、数的取值范围18（本小题满分12分）已知直线与直线交于点（1）求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行线之间的距离；（直线方程写成一般式）（2）求过点且垂直于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式）（3）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程（直线方程写成一般式）19（本小题满分12分）已知圆与圆（1）若圆与圆恰有3条公切线，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为2，求实数的值20（本小题满分12分）已知过点的动直线与抛物线相交于两点，当的斜率为1时，（1）求抛物线的方程；（2）若的中垂线在轴上的截距为，求实数的取值范围21（本小题满分12分）如图，在四棱
6、锥中，（1）求证：平面平面；（2）点为线段上异于的一点，若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求点的位置22（本小题满分12分）已知椭圆的一条弦的中点为（1）若直线的斜率为且不过坐标原点，求直线的斜率；（2）若直线过椭圆的右焦点，且不与轴垂直，斜率不为零，试问在轴上是否存在一点，使，且以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由20202021学年高二第一学期12月联考数学试卷（理科）参考答案、提示及评分细则1D 因为命题为全称量词命题，所以为存在量词命题，对结论进行否定，并把全称量词改为存在量词，故选D2C 棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故A错误；球不能展成平面图形，故
7、B错误；棱锥（，且）有个侧面，1个底面，侧面都是三角形，底面是多边形，所以棱锥至少有个面是三角形，故C正确；直角三角形绕它的一条直角边旋转所形成的几何体是圆锥，绕它的斜边旋转所形成的几何体是两个圆锥的组合体，故D错误故选C3A 椭圆的左焦点为“”是“椭圆的左焦点为”的充分不必要条件故选A4C 故焦点为的抛物线的标准方程为故选C5B 由三视图可知，此“阳马”底面长方形的面积，高，所以故选B6B 因为，所以，所以平面与平面垂直故选B7D 由题意，不妨设双曲线的一条渐近线为，则故选D8A 直线方程可化为，因为直线所过的定点与的取值无关，所以解得所以直线恒过定点故选A9A 由，可得，直线的方程为，圆的
8、方程为，圆心为，半径为1，圆心到直线的距离，所以点到直线的最短距离，所以面积的最小值为故选A10D 圆的圆心，半径切线长，所以当的长度最小时，切线长最小当时，所以故选D11C 根据抛物线方程，可得，准线方程为，作准线为垂足，又知，由抛物线的定义可得，故当三点共线时，取最大值，最大值为故选C12A 设，则，所以又因为，所以又因为，所以，所以故选A13 用圆的方程减去圆的方程得两圆公共弦所在直线的方程是，即14120 由题可知，所以，因为，所以，所以15 地球半径为，所以北纬30的纬度圈半径为，因为武汉和冷布岗日峰的经度分别为东经114和东经84，相差30，即，所以两地在北纬30的纬线长是16 以
9、点为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，所以设异面直线与所成的角为，则，故正确；，因为，所以，因为平面，所以平面，故正确；，设直线与平面所成的角为，则，故正确；是平面的法向量，所以，因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为，故错误故选17解：若为真命题，则对称轴在区间的右侧，即，所以 4分若为真命题，则方程无实数根，所以，所以 8分因为都为真命题，所以，所以故的取值范围为 10分18解：（1）由得 1分设直线的方程为，代入点坐标得，所以直线的方程为， 3分所以两平行线间的距离 5分（2）设直线的方程为，代入点坐标得 6分所以直线的方程为 8分（3
10、）当直线过坐标原点时，直线的方程为，即； 10分当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，所以直线的方程的方程为，即综上所述，直线的方程为或 12分19解：（1）圆，圆心，半径；圆，圆心，半径 2分因为圆与圆有3条公切线，所以圆与圆相外切，所以， 4分即，解得 6分（2）由（1）可知，圆，圆心，半径因为直线与圆相交，弦长是2，所以圆心到直线的距离， 10分即，解得或 12分20解：（1）由题意可知，直线的方程为，与抛物线方程方程联立消去，得， 2分设，由韦达定理，得 3分因为，所以，解得，所以抛物线的方程为 5分（2）由题意可知直线的斜率必存在设的中点为，由消去可得，所以，解得或，
11、7分由韦达定理，得，所以的中垂线方程为9分令则，因为或，所以 12分21（1）证明：取的中点，连结因为，所以在中由余弦定理得，所以所以，所以 2分因为平面，所以平面 3分因为平面，所以平面平面 5分（2）解：因为，所以以点为坐标原点，方向为轴，轴，以垂直于平面方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则因为，所以，即 6分设，则，不妨设，即，得，所以 7分设为平面的法向量，则即，令得 9分因为平面，所以为平面的法向量 10分因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，所以，解得 11分所以点为线段的中点 12分22解：（1）设的中点为，由于为椭圆上的点，两式相减，得，即，则，所以直线的斜率为 5分（2）设直线的斜率为，由（1）可得，所在直线的斜率为，又直线过点，则，联立得， 7分则， 9分设，若为直径的圆恰好经过点，则，即，解得 10分又，所以，解得，所以所以存在点满足，且以为直径的圆恰好经过点 12分
