1、第二章导数及其应用7导数的应用7.1实际问题中导数的意义7.2实际问题中的最值问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+4x+713,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.3万件B.1万件C.2万件D.7万件答案C解析函数的导数y=-x2+4=-(x-2)(x+2),由y=0得x=2或x=-2(舍),当x2时,y0,当0x0,即当x=2时,函数取得极大值,同时也是最大值,即该生产厂家获取最大年利润的年产量为2万件.2.已知正四棱锥S-ABCD中,SA=23,那么当该棱锥的体积最大时,它的底面积为()A
2、.4B.8C.16D.32答案C解析设底面边长为a,则高h=SA2-(22a)2=12-a22,所以体积V=13a2h=1312a4-a62,设y=12a4-12a6,则y=48a3-3a5,令y=48a3-3a5=0,解得a=0(舍去)或a=4时,易知当a=4时,体积最大,此时底面面积为16.3.将周长为4的矩形ABCD绕直线AB旋转一周所得圆柱体积最大时,线段AB长为()A.43B.23C.13D.1答案B解析矩形ABCD的周长为4,设BC=x(0x2),则AB=2-x,将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱的体积为V(x)=x2(2-x)=(2x2-x3)(0x2),则V(x)=
3、(4x-3x2),令V(x)=0,解得x=43,当0x0,则V(x)单调递增,当43x2时,V(x)390,则当总利润最大时,每月生产产品的件数是()A.150B.200C.250D.300答案D解析由题意得,总利润P(x)=-x3900+300x-20000,0x390,70090-100x,x390,P(x)=-x2300+300,0x390,-100,x390,令P(x)=0,得x=300,易知x=300是P(x)的最大值点,即当每月生产300件产品时,总利润最大.故选D.5.已知两个和为48的正整数,若第一个数的立方与第二个数的平方之和最小,则这两个正整数分别为.答案5与43解析设第一
4、个数为x,则第二个数为(48-x),记y=x3+(48-x)2=x3+x2-96x+2304(0x0),为使耗电量最小,则其速度应定为.答案40解析由题设知y=x2-39x-40,令y0,解得x40或x0)在40,+)内单调递增,在(0,40内单调递减.当x=40时,y取得最小值.所以为使耗电量最小,则其速度应定为40.7.某品牌电视机生产厂家有A,B两种型号的电视机参加了家电下乡活动,若厂家对A,B两种型号的电视机的投放金额分别为p万元和q万元,农民购买电视机获得的补贴分别为p10万元和25ln q万元.已知A,B两种型号的电视机的投放总金额为10万元,且A,B两种型号的电视机的投放金额均不
5、低于1万元.请你制定一个投放方案,使得这次活动中农民得到的补贴最多,并求出最大值.(精确到0.1,参考数据:ln 41.4)解设B型号电视机的投放金额为x万元(1x9),则A型号电视机的投放金额为(10-x)万元,设这次活动中农民得到的补贴为y万元.由题意得y=110(10-x)+25lnx=25lnx-110x+1,则y=25x-110.令y=0,解得x=4.当x1,4)时,y0,函数单调递增,当x(4,9时,y0,函数单调递减.当x=4时,y取得最大值,ymax=25ln4-0.4+11.2(万元).故当厂家投放A,B两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元时,农民得到的补贴最多,约为1
6、.2万元.关键能力提升练8.在用计算机进行的数学模拟实验中,一种应用微生物跑步参加化学反应,其物理速度f(t)与时间t的关系是f(t)=t+2cos t0t12,则()A.f(t)有最小值16+3B.f(t)有最大值16+3C.f(t)有最小值14+2D.f(t)有最大值14+2答案B解析f(t)=t+2cost0t12,f(t)=1-2sint,由1-2sint=0,得sint=12,0t0,f(t)单调递增;当t16,12时,f(t)0,f(t)单调递减.f(t)有最大值16+3.9.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为()A.l63B.l33C.l43D.14l43答案A解析设
7、圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,h=l-4r2.V=r2h=2lr2-2r30r0,r=l6是其唯一的极大值点,也是最大值点.当r=l6时,V取得最大值,最大值为l63.10.现有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,甲地与乙地之间的距离约为500海里.运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船行驶的速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.为了使全程运输成本最低,轮船行驶速度应为()A.25海里/时B.35海里/时C.20海里/时D.30海里/时答案B解析设轮船的行驶速度为x海里/时,运输成本为y元.依
8、题意得y=500x(960+0.6x2)=480000x+300x,x(0,35,则y=300-480000x2,x(0,35.当0x35时,y0,得5-2x0,即0x254,由y0,得5-2x254,即当x=254时,函数取得极大值同时也是最大值,此时y=1410-254+54254=1516+5016=6516.12.(多选题)声音是由物体振动产生的声波,可以用正弦函数描述.纯音的数学模型是函数y=Asin t,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+12sin 2x,则()A.f(x)在0,2内单调递增B.f(x)的最大值为334C.
9、f(x)在0,2上有3个零点D.f(x)在0,2上有3个极值点答案BC解析当x0,2时,f(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1,由f(x)0,得12cosx1或cosx-1(舍),0x3或53x2;由f(x)0,得-1cosx12,3x53,函数f(x)在0,3,53,2内单调递增,在3,53内单调递减,f(x)在0,2上有2个极值点,故AD错误.x=3为函数f(x)的极大值点,x=53为函数f(x)的极小值点,且f(0)=0,f3=334,f53=-334,f(2)=0,f(x)max=f3=334,故B正确.由f(x)=sinx+12sin2x=0,得sinx+sinx
10、cosx=0,sinx=0或cosx=-1,当x0,2时,x=0,x=,x=2,则f(x)在0,2上有3个零点,故C正确.13.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/时)的函数解析式可以表示为y=1128000x3-380x+8,x(0,120,且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.答案80解析当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x小时,设耗油量为f(x)升,依题意得f(x)=1128000x3-380x+8100x=11280x2+800x-154(0x120).则f(x)
11、=x640-800x2=x3-803640x2(0x120).令f(x)=0,得x=80,当x(0,80)时,f(x)0,该函数为增函数,所以当x=80时,f(x)取得最小值.14.已知函数f(x)=-ln x,x(0,e).在曲线y=f(x)上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A,B两点,设O为坐标原点,则AOB面积的最大值为.答案2e解析设切点为(t,f(t).由已知f(x)=-1x,所以曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线方程为y+lnt=-1t(x-t).令y=0,得点A的横坐标为xA=t(1-lnt),令x=0,得点B的纵坐标为yB=1-lnt,当t(0,e)时,xA0,yB0,
12、此时AOB的面积S=12t(1-lnt)2,S=12(lnt-1)(lnt+1),解S0,得0t1e;解S0,得1ete.所以0,1e是函数S=12t(1-lnt)2的增区间;1e,e是该函数的减区间.所以当t=1e时,AOB的面积最大,最大值为121e1-ln1e2=2e.15.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=
13、640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即n=mx-1.所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256mx-1+mx(2+x)x=256mx+mx+2m-256(0xm).(2)由(1)知,f(x)=-256mx2+12mx-12=m2x2(x32-512).令f(x)=0,得x32=512,所以x=64.当0x64时,f(x)0,f(x)在区间(0,64)内单调递减;当64x0,f(x)在区间(64,640)内单调递增,所以f(x)在x=64处取得最小值.此时n=mx-1=64064-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.新情境创新
14、练16.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=k3x+5(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求出最小值.解(1)由题设,每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5,再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=403x+5,而隔热层的建造费用为C1(x)=6x.因此隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20403x+5+6x=8003x+5+6x(0x10).(2)f(x)=6-2400(3x+5)2.令f(x)=0,即2400(3x+5)2=6,解得x=5,x=-253(舍去).当0x5时,f(x)0;当5x0,故当x=5时,f(x)取到最小值,对应的最小值为f(5)=65+80015+5=70.答:当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元.
