1、立体几何中的动态问题立体几何中的动态问题，主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等类型一求动点的轨迹(长度)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM平面A1DE，则动点M的轨迹长度为()A B C2 D思维架桥建立空间直角坐标系，设点M(x,2，z)，求出平面A1DE的法向量n由n0可得xz1，故点M的轨迹是以BC，BB1的中点为端点的线段，易求这条线段的长度B解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(2,0,2)，(0,2,1)，则平面A1DE的一个法向量为n(
2、2,1，2)设M(x,2，z)，则(x2,2，z)由n0，得2(x2)22z0，所以xz1，故点M的轨迹为以BC，BB1的中点为端点的线段，长为故选B应用体验如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹是() A B C DA解析：根据题意可知PDDC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC”，设AB的中点为N，根据题目条件可知PANCBN，所以PNCN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC”，故动点M的轨迹肯定过点D和点N，可排
3、除选项B，C而到点P与到点C的距离相等的点的轨迹是线段PC的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线故选A类型二求线段的长度问题在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体PABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是()A1，1 B1,3C1,2 D1，1思维架桥将A，B在x轴、y轴上运动可以看作点O在以AB为直径的球面上运动设线段AB的中点为M，则PM可求，且 |PM|r|PM|r，其中r为球M的半径A解析：如图，若固定正四面体PABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动设AB的中点为M，则PM，所以原点O到点P的最近距离等于PM减去
4、球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径，所以1|OP|1，即|OP|的取值范围是1，1应用体验设点M是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AD的中点，点P在平面BCC1B1所在的平面内若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P与点C1的最短距离是()A B C1 DA解析：设P在平面ABCD上的射影为P，M在平面BB1C1C上的射影为M(图略)，平面D1PM与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角分别为，则cos ，cos 因为cos cos ，所以SDPMS设P到C1M距离为d，则d12，d，即点P到C1的最短距离为类型三求最值问题如图，平面
5、ACD，B为AC的中点，|AC|2，CBD60，P为内的动点，且点P到直线BD的距离为，则APC的最大值为()A30 B60 C90 D120思维架桥由题意知空间中到直线BD的距离为的点构成一个圆柱面，它与平面的相交面是一个椭圆面，即点P的轨迹是一个椭圆由椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值，可求得答案B解析：因为点P到直线BD的距离为，所以空间中到直线BD的距离为的点构成一个圆柱面，它和平面相交得到一个椭圆，即点P在内的轨迹为一个椭圆，B为椭圆的中心，b，a2，则c1，所以A，C为椭圆的焦点因为椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值，所以APC的最大值为60故选B应用体验如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM平面ACD1，则tanDMD1的最大值为()A B1 C2 DD解析：因为当M在直线A1C1上时，都满足BM平面ACD1，所以tanDMD1是最大值故选D
