1、4.2 指数函数（学生版）1指数函数的定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量.指数函数yax(a0，且a1)的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1.2指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质如下表所示：a10a1图象性质定义域R值域(0，)过定点过定点(0,1)，即x0时，y1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数(1)a1是“一撇”，0a0，a1)的图象可能是（ ）ABCD2（广东）已知0mn1，b1，b0C0a0 D0a1，b1是“一撇”，0a0，且a1)，将点(2，9)代入，得a29，
2、解得a3或a3(舍去).所以f(x)3x.所以f(1)31.故答案为：（2）根据题意，函数，则，则，故答案为：16.【题型专练】1（全国高一单元测试）指数函数的图象经过点，则a的值是（ ）ABC2D4解：因为的图象经过点，所以，解得，故选：B.2（太原市第五十六中学校高一月考）若指数函数的图象经过点，则_，_解：设（且），因为的图象经过点，所以，可得，所以，所以，故答案为：；.题型三 指数函数的值域与定义域【例3】（全国高一专题练习）求下列函数的定义域和值域：（1）； （2）； （3）.解：(1)x应满足x20，x2，定义域为x|x2，xR.，的值域为y|y0，且y1.(2)定义域为R.|x|
3、0，此函数的值域为1，).(3)由题意知，x0，定义域为x|x0，xR.x0，0y1，此函数的值域为0，1).【题型专练】1（全国）函数的定义域为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得，所以，解得故选：D.2（多选）（全国）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）ABCD【答案】BC【解析】当时，函数在区间上为单调递增函数，当时，当时，所以，即，解得或，因为，所以；当时，函数在区间上为单调递减函数，当时，当时，所以，即，解得或，因为，所以.综上可得，实数的值为或.故选：BC3（全国高一课时练习）若函数f(x)的定义域是1，)，则a的取值范围是（ ）A0，1)(1，)B(1
4、，)C(0，1)D(2，)【答案】B【解析】axa0，axa，当a1时，x1故函数定义域为1，)时，a1故选：B4（上海高一专题练习）函数y的定义域_； 值域_ .【答案】R （0，1） 【解析】函数的定义域为R.y1，又3x0，13x1，01，10，011，函数的值域为(0，1)故答案为：R；（0，1）5（河南高一期末（文）函数的最小值为（ ）AB1C2D【答案】D【解析】令，则，故原函数化为，当时，可得最小值为故选：D题型四 指数函数的定点【例4】（1）（上海高一专题练习）函数的图像恒过定点_.（2）（高邮市临泽中学高一月考）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实
5、数m，n满足，则的最小值为_【答案】（1）（2）4【解析】（1） ，令，得， 函数的图象恒过定点，故答案为：.（2）函数且的图象恒过定点，可得 ，点在一次函数的图象上，所以 ，当且仅当时取得等号；故答案为：4【题型专练】1（全国高一课时练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为_.【答案】【解析】时，所以函数图象恒过定点故答案为：2（上海市建平中学高一期末）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是_【答案】【解析】因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数（且）恒过定点，所以函数（且）的图像经过定点.故答案为：3（上海市民办西南
6、高级中学高一月考）函数的图象恒过定点_.【答案】【解析】当时，的图象恒过定点.故答案为：.题型五 比较大小【例5】（江西高安中学高一月考）已知，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在单调递增；由于；由于；综上：故选：A【题型专练】1（全国高一课时练习）已知，则的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【解析】，递增，且，即.故选：B.2（全国高一课时练习）下列判断正确的是（ ）A2.52.52.53B0.820.83C4D0.90.30.90.5【答案】D【解析】对于项，y2.5x是增函数，且2.53，2.52.52.53,对于B项
7、，y0.8x是减函数，且20.83,对于C项，y是增函数，且，对于D项，y0.9x是减函数，且0.30.90.5故选：D3（全国）已知，则（ ）.A B C D【答案】C【解析】，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，则，故选：C.题型六 解指数不等式【例6】（1）（新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）若满足不等式，则函数的值域是（ ）ABCD（2）（浙江高一期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】（1）B（2）A【解析】（1）由可得，因为在上单调递增，所以即，解得：，所以，即函数的值域是，故选：B.（2）因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数
8、在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A【题型专练】1（全国高一专题练习）若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】令,为R上的单调递减函数，由已知得：,故选：C.2（辽宁高一月考）设，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，即不能够推出，而能够推出，命题是命题的必要不充分条件故选：B3（全国高一课时练习）函数f（x），若有f（a）f（a2）4，则a的取值范围是_.【答案】（1，）【解析】设F（x）f（x）2，则F（x），易知F（x）是奇函数，F（x）1在R上是增函数，由f（a）f（a2）4得F（a）F（a2）0，于是可
9、得F（a）F（2a），即a2a，解得a1.答案：（1，）题型七 指数型函数的单调性【例7】（1）（全国高一课时练习）函数y的单调递减区间为（ ）A（，0B0，）C（，D，）（2）（江苏高一课时练习）函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】（1）B（2）C【解析】（1）数yu在R上为减函数，欲求函数y的单调递减区间，只需求函数ux22的单调递增区间，而函数ux22的单调递增区间为0，），故所求单调递减区间为0，）.故选:B（2）满足对任意，都有成立，在上是减函数，因为，解得，的取值范围是故选：【题型专练】1（全国高一单元测试）“”是“函数在上为增函数”的（ ）A充分不必要
10、条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若在上为增函数，则，即，因为是的充分不必要条件，所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.故选：A2（全国）已知函数，其中，且，若在上单调，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】函数，其中，且，因为函数在上单调，又因为函数在上为减函数，所以函数在上为减函数，则函数在上为减函数，可得，且有，解得.综上可知，实数的取值范围是.故选：B.3（汕头市达濠华侨中学高一期末）已知函数，则的单调递增区间是_【答案】【解析】函数是由和复合而成，因为为单调递增函数，对称轴为，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调
11、递减，在上单调递增，所以的单调递增区间为，故答案为：.4（全国高一专题练习）已知函数是R上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由函数是R上的奇函数知，即，解得.（2）由（1）知.任取，则因为，所以，所以，又因为，故，所以，即所以在上为减函数.（3）不等式可化为因为是奇函数，故所以不等式可化为由（2）知在上为减函数，故即即对于任意，不等式恒成立.设易知因此所以实数的取值范围是.题型八 图像问题【例8】（1）（全国高一课时练习）已知，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为
12、（ ）ABCD（2）（河北安平中学）函数的图象不可能为（ ）ABCD【答案】（1）A（2）C【解析】（1）与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A故选：A（2）当时，图象A满足；当时，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；当时，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点，此时，故C不成立.故选：C.【题型专练】1（多选）（全国高一专题练习）函数(a0，a1)的图象可能是（ ）ABCD【答案】CD【解析】当a1时，(0，1)，因此x0时，0y11，且yax在R上单调递增，故C符合；当0a1，因此x0时，y0，且yax在R上单调递减，故D符合.故选：CD.2（广东）已知0mn1，则指数函数ymx，ynx的图象为()【答案】C【解析】由于0mn1，b1，b0C0a0 D0a1，b0【答案】D【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0a1；从曲线位置看，是由函数yax(0a0，即b0
