1、平面向量（二）三角形的心与奔驰定理 高考数学专题复习 一.重心 ABCG1.三角形重心：2.性质：重心分中线线段比例为2：1EFD中线表示为AC21AB21ADCA21CB21CF1122BEBABC在ABC中，已知G为ABC的重心，则0GCGBGA三条中线的交点ABCG已知G为ABC的重心，则点G的坐标满足3yyyy3xxxxCBAGCBAG二.垂心 ABCOFDE1.三角形垂心：2.性质：ABOCACOBBCOA0三条高线的交点三.外心 BCAO1.三角形外心（外接圆的圆心）：2.性质：OCOBOA222OCOBOA即0ABOBOA）（0CACOOA）（0BCCOBO）（三条边垂直平分线的
2、交点四.内心 ABCO1.三角形内心（内接圆的圆心）：DEF方向上的单位向量表示补充：用ABABAB三个角平分线的交点2.性质：ABCOFEDACABDCBD 角平分线定理）（ACACABABAD）（BCBCBABABE）（CACACBCBCF心。的迹一定通过的轨），则，（），（满足动点，为平面上不共线的三点、为平面上一点，：已知例ABCP0ACABOAOPPCBAO2重ABCODCOBODBC和，连接的中点解：取）（则ACAB21ADAD2OAACABOAOP）（APOA-OPAD2的重心。的轨迹必过故点ABCP心。的为则，）（）（，有：若例ABCO0BABA-BCBCOBABAB-ACAC
3、OAABC3内ABCOABABOA-ACACOAABAB-ACACOA）（解：0ABBAOAACCAOA-ABOABcosBAOAACOACcosCAOA的角平分线。为即，AAOOABcosOACcos的平分线。为同理可得：BBO心。的一定为，则垂心之一，且满足的内心、外心、重心、为：点例ABCPAB-ACBCAP2ABCP422外ABCD）（）（解：ABACAB-ACAB-ACBCAP222）（ABACBCDBC的中点为设线段AD2BCBCAP20BCAD-AP）即（0BCDP的外心。为，故垂直平分线段ABCPBCPD知识梳理1.奔驰定理：P 为 ABC 内一点，0 aPAbPBcPC，则:
4、PBCPACPABSSSa b c.重要结论：PBCABCSaSabc，PACABCSbSabc，PABABCScSabc.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一奔驰定理作用：处理有关三角形面积比问题 利用奔驰定理反求向量式中参数问题 奔驰定理处理三角形四心问题 推论：对于 ABC所在平面内不在三角形边上的任一点 P，1230PAPBPC则 PBC、PCA、PAB的面积分别为123:.奔驰定理运用：共起点三向量和为零向量（
5、形式转化）涉及起点为顶点三角形面积知识梳理能力 提升“奔驰定理”与三角形“四心”：已知点O在ABC内部，有以下四个推论：(1)若 O 为ABC 的重心，则OA OB OC 0.(2)若 O 为ABC 的外心，则 sin 2AOAsin 2BOBsin 2COC0.(3)若 O 为ABC 的内心，则 aOA bOB cOC 0.备注：若 O 为ABC 的内心，则 sin AOA sin BOB sin COC0 也对.(4)若 O 为ABC 的垂心，则 tan AOA tan BOB tan COC 0.典例精讲【例1】设点O 在 ABC 内部，且5370OAOBOC，则 ABC 与AOC的面积
6、之比为_.奔驰定理直接法求三角形面积比【解析】因为点O在 ABC内部，满足奔驰定理0BOCAOCAOBSOA SOBSOC，且5370OAOBOC，所以 ABC与AOC的面积之比为(5 3 7):35:1，故答案为：5:1.典例精讲奔驰定理直接法求三角形面积比【例 2】设点O在 ABC的外部，且3250OAOBOC，则:OBCABCSSA1:2B1:3C 2:3D1:4【解析】根据奔驰定理推广结论可得：，故典例精讲【例 3】在中，为所在平面内一点，且，则等于()A16B13C12D23【解析】由AD13AB12AC得，DA2DB3DC 0，根据奔驰定理得，SBCDSABD13奔驰定理变形求三角
7、形面积比典例精讲【例 4】点 在内的一点，则的面积与的面积之比是【解析】由变形可得：整理可得：，则根据奔驰定理可得：，则.奔驰定理变形求三角形面积比典例精讲【例 5】点 O 为ABC 内一点，若 SAOBSBOCSAOC432，设AO ABAC，则实数 和 的值分别为()A29，49B49，29C19，29D29，19【解析】根据奔驰定理，得 3OA2OB4OC 0，即 3OA2(OAAB)4(OAAC)0，整理得AO29AB49AC，故选 A利用三角形面积反求向量式系数问题【例 6】设点 P 在ABC 内且为ABC 的外心，BAC30，如图若PBC，PCA，PAB 的面积分别为12，x，y，
8、则 xy 的最大值是_【解析】根据奔驰定理得，12PAxPByPC0，即AP2xPB2yPC，平方得AP 24x2PB 24y2PC 28xy|PB|PC|cosBPC，又因为点 P 是ABC 的外心，所以|PA|PB|PC|，且BPC2BAC60，所以 x2y2xy14，(xy)214xy14xy22，解得 0 xy 33，当且仅当 xy 36 时取等号所以(xy)max 33 典例精讲利用三角形面积反求向量式系数问题精选精练4、设 为所在平面上一点，且满足34(0)PAPCmAB m若的面积为 8，则的面积为_【解析】奔驰定理推论：O 是平面内的一点，且，则:BOCCOAAOBSSSx y z；BOCABCSxSxyz34340PAPCmABmPA mPBPC，4414347 APCABCABCSSSmm
