1、3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算1熟悉向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念(难点)2掌握空间向量的加法、减法运算(重点)3掌握空间的数乘运算(重点)基础初探教材整理1空间向量的概念阅读教材P79“空间向量的概念”部分，完成下列问题.名称定义空间向量在空间中，具有_和_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_单位向量长度或模为_的向量零向量_的向量相等向量方向_且模_的向量相反向量_相反且_相等的向量【答案】大小方向长度(模)1起点与终点重合相同相等方向模判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在空间中，单位向量唯一()(2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移(
2、)(3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线()(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2空间向量的线性运算阅读教材P79P81，完成下列问题1(1)空间向量的加法、减法运算(如图311)图311_；_.(2)运算律：ab_；(ab)c_.【答案】(1)abab(2)baa(bc)2空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a的乘积_仍然是一个_，称为向量的数乘运算(2)运算律：(ab)_；(a)_.【答案】(1)a向量(2)ab()a给出下列命题：若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp；
3、空间中任意两个单位向量必相等其中正确的个数为()A4B3C2D1【解析】根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但中向量a与b的方向不一定相同，故错；命题显然正确； 对于命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错故选D.【答案】D质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型空间向量的有关概念(1)下列说法正确的是()A若|a|b|，则abB若a，b为相反向量，则ab0C空间内两平行向量相等D四边形ABCD中，(2)如图312所示，在平行六面体AB
4、CDABCD中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有_；与向量相反的向量有_(要求写出所有适合条件的向量)图312【自主解答】(1)向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错；D正确(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，.与向量相反的向量有，.【答案】(1)D(2)，1在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同2由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决3零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何
5、向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性再练一题1下列说法中，错误的个数为()(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；(2)若向量，满足|，且与同向，则；(3)若两个非零向量与满足0，则，为相反向量；(4)的充要条件是A与C重合，B与D重合A1B2C3D4【解析】(1)错误两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关(2)错误向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小(3)正确.0，得，且，为非零向量，所以，为相反向量(4)错误由，知|，且与同向，但A与C，B与D不一定重合【答案】C空间向量的线性运算如图313，已知正方体ABCDABCD，点E是
6、上底面ABC D的中心，求下列各式中x，y，z的值图313(1)xyz；(2)xyz.【精彩点拨】利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据向量对应系数相等，求出x，y，z的值【自主解答】(1)因为，又xyz，所以x1，y1，z1.(2)因为()，又xyz，所以x，y，z1.用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；(2)要注意数形结合思想的运用再练一题2.如图314，已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG2GN，设a，b，c，试用a，b，c表示向量.图314【解
7、】()abc.探究共研型用已知向量表示未知向量探究1已知空间四边形ABCD中，a，b，c，试用a，b，c表示.【提示】由空间向量的加法、减法运算可知ca，cab.探究2如图315所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，试用a，b，c表示.图315【提示】由图形可知：(ba)c，则cba.已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中点O.Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：图316(1)xy；(2)xy.【精彩点拨】利用空间向量的线性运算法则求解【自主解答】(1)()，xy.(2)2，2.又
8、2，2.从而有2(2)22.x2，y2.利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握再练一题3如图317所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c.M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CNNA141.用a，b，c表示以下向量：图317(1)；(2).【解】(1)()()(22)abc.(2)()abc.构建体系1下列命题中，假命题是()A向量与的长度相等B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0D单位向量都
9、相等【解析】单位向量是模为1的向量，它的方向没有限制但两个向量相等必须同时满足模相等，且方向相同，故D错误【答案】D2.如图318所示，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且2，N为BC中点，则等于()图318A.abcBabcC.abcD.abc【解析】连接(图略)，则()(bc)aabc.【答案】B3化简(a2b3c)53(a2bc)_. 【导学号：15460059】【解析】原式abcabc3a6b3cabcabc.【答案】abc4若把空间内平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形是_【答案】球面5如图319，设O为ABCD所在平面外
10、任意一点，E为OC的中点，若xy，求x，y的值图319【解】()()()，x，y.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则()A2B3C3 D2【解析】23.【答案】B2在平行六面体ABCDABCD中，与向量的模相等的向量有() 【导学号：15460060】A7个 B3个C5个 D6个【解析】|.【答案】A3在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，用向量，表示向量的结果为()图3110A.B.C.D.【解析】.故选B.【答案】B4在正方体ABCDA1B1C1D1
11、中，下列各式中运算结果为的是()()；()；()；().A BC D【解析】()；()；()；().【答案】A5在四面体OABC中，a，b，c，D为BC中点，E为AD的中点，则()A.abcBabcC.abcD.abc【解析】()()abc.【答案】C二、填空题6下列说法正确的有_(填序号)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；有向线段就是向量，向量就是有向线段【解析】由平行向量的定义可知正确；由相等向量定义知正确；有公共终点的向量的基线不一定平行或重合，故错误；有向线段是向量的几何表示，有向线段与向量不是同
12、一概念，故错误【答案】7化简：()()_.【解析】()()()()0.【答案】08在空间四边形ABCD中，a2c，5a5b8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则_.【解析】()()()()3ab3c.【答案】3ab3c三、解答题9在长方体ABCDA1B1C1D1中，化简.【解】如图()()().10如图3111，在长、宽、高分别为AB3，AD2，AA11的长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，图3111(1)单位向量共有多少个；(2)试写出模为的所有向量；(3)试写出与相等的所有向量；(4)试写出的相反向量【解】(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对
13、应的向量，.共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，共8个(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有，及，共3个(4)向量的相反向量为，共4个能力提升1已知，R，给出以下命题：0，a0时，a与a的方向一定相同；0，a0时，a与a的方向一定相反其中正确的个数是()A1B2C3D4【解析】由数乘的定义及性质可知均正确【答案】D2已知点M是ABC的重心，并且对空间任意一点O，有x，则x的值为()A1 B0 C3 D【解析】因为M为ABC的重心，设BC的中点为D，所以()()，故x.【答案】D3在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则有化简的结果为_. 【导学号：15460061】【解析】延长DE交边BC于点F，则，故0.【答案】04如图3112所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，若xy，则x，y的值分别为多少？图3112【解】设a，b，c，四边形B1C1D1A1为平行四边形，ca，又O是B1D1的中点，(ab)，(ab)，b(ab)(ba)D1D綊C1C，c，(ba)c.若存在实数x，y，使xy(x，yR)成立，则caxy(xy)a(xy)bxc.a，b，c不共线，得
