1、第三章 圆锥曲线的方程章末测试一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、化简方程10的结果是()A.1B.1C.1 D.12、已知圆C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()Ax21 B.y21Cx21(x1) Dx21(x1)3、顶点在原点，且过点P(2，3)的抛物线的标准方程是()Ay2x By2xCy2x或x2y Dy2x或x2y4、已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|MF2|的最大值为()A13B12 C9D65、若双曲线E：1的左、右
2、焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|()A11 B9C5 D36、若抛物线y22px(p0)的焦点到直线yx1的距离为，则p()A1 B2 C2 D47、已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF的面积最大值为()A6 B15C20 D128、已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为()A. B. C2 D.二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得
3、0分9、对于曲线C：1，下面四个说法不正确的是()A曲线C不可能是椭圆B“1k4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3k4”的充分不必要条件D“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1k2.5”的充要条件10、已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为()A.1 B.1C.1 D.111、已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则()A.渐近线方程为yxB.渐近线方程为yxC.MAN60D.MAN12012、已知椭圆C：1的左、右两个焦点分别为F1，
4、F2，直线ykx(k0)与C交于A，B两点，AEx轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是()A.四边形AF1BF2为平行四边形B.F1PF290C.直线BE的斜率为kD.S四边形AF1BF2(0，4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13、动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_14、已知直线l：yk(x1)与椭圆C：y21交于不同的两点A，B，AB中点横坐标为，则k_15、已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当APF周长最小时，则点P的坐标为_16、设F1，F2同时为椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：1
5、)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若2，则_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、求满足下列各条件的曲线的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)的椭圆的标准方程；(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，且其右焦点为(5，0)，求双曲线C的标准方程.(3)与椭圆1有相同离心率，且经过点(2，).18、如图所示，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离
6、心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程.19、已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c，0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率.20、如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值.21、已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(2，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P
7、，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.22、已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.第三章 圆锥曲线的方程章末测试(答案)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、化简方程10的结果是(C)A.1B.1C.1 D.12、已知圆C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨
8、迹方程为(C)Ax21 B.y21Cx21(x1) Dx21(x1)3、顶点在原点，且过点P(2，3)的抛物线的标准方程是(C)Ay2x By2xCy2x或x2y Dy2x或x2y4、已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|MF2|的最大值为(C)A13B12 C9D65、若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|(B)A11 B9C5 D36、若抛物线y22px(p0)的焦点到直线yx1的距离为，则p(B)A1 B2 C2 D47、已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF的面积最大值为(D)A6 B15
9、C20 D128、已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为(D)A. B. C2 D.三、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分9、对于曲线C：1，下面四个说法不正确的是(ABC)A曲线C不可能是椭圆B“1k4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3k4”的充分不必要条件D“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1k2.5”的充要条件10、已知椭圆的长轴长为10，其焦
10、点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为(BD)A.1 B.1C.1 D.111、已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则(BC)A.渐近线方程为yxB.渐近线方程为yxC.MAN60D.MAN12012、已知椭圆C：1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线ykx(k0)与C交于A，B两点，AEx轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是(ABC)A.四边形AF1BF2为平行四边形B.F1PF290C.直线BE的斜率为kD.S四边形AF1BF2(0，4三、填空题：本题共4小题，每小题
11、5分，共20分13、动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_y24x_14、已知直线l：yk(x1)与椭圆C：y21交于不同的两点A，B，AB中点横坐标为，则k_15、已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当APF周长最小时，则点P的坐标为_(2，2)_16、设F1，F2同时为椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：1)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若2，则_2_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、求满足下列各条件的曲
12、线的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)的椭圆的标准方程；(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，且其右焦点为(5，0)，求双曲线C的标准方程.(3)与椭圆1有相同离心率，且经过点(2，).解(1)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过点A(3，0)，1得a3，2a32b，b1，方程为y21，若焦点在y轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过点A(3，0)，1得b3，又2a32b，a9，方程为1.综上所述，椭圆方程为y21或1.(2)由题意得，c2a2b225，所以a4，b3，所以所求双曲线的标准方程为1.(3)椭圆1的离心率是e，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的
13、方程是1(ab0)，解得所求椭圆方程为1.当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0)，椭圆的标准方程为1，故所求椭圆标准方程为1或1.18、如图所示，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程.解(1)|AF1|AF2|a，且F1AF290，|F1F2|2c，2a24c2，ac，e.(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由2，解得x，y，代入1，得1，即1，解得a23，b2a2c22.所以椭圆方程为1.19、已知双曲线1(a0，b
14、0)的右焦点为F(c，0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率.解(1)因为双曲线的渐近线方程为yx，所以ab，所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足()1，所以x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，所以x0c， 所以点A的坐标为，代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又因为a2b2c2，所以将b2c2a2代入式，整理得c42a
15、2c2a40，所以3840，所以(3e22)(e22)0，因为e1，所以e，所以双曲线的离心率为.20、如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值.解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x，所以直线AP斜率的取值范围是(1，1).(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k时，|
16、PA|PQ|取得最大值.21、已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(2，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.解(1)由已知可得，c2，所以a.又由a2b2c2，解得b，所以椭圆C的标准方程是1.(2)设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y2
17、4my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即(x1，y1)(3x2，my2).所以解得m1.此时，四边形OPTQ的面积SOPTQ2SOPQ2|OF|y1y2|22.k时，|PA|PQ|取得最大值.22、已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.(1)解把P(1，1)代入y22px得p，抛物线C的方程为y2x，焦点坐标
18、为，准线方程为x.(2)证明BMx轴，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，根据题意显然有x10.若要证A为BM的中点，只需证2yAyBy1即可，左右同除以x1有，即只需证明2kOAkOBkOM成立，其中kOAkOP1，kOBkON.当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零.设直线MN：ykx(k0)，联立消y得，k2x2(k1)x0，考虑(k1)24k212k，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k.由根与系数关系可知：x1x2，x1x2.kOBkOMkONkOM2k.将代入上式，有2k2k2k2(1k)2，即kONkOMkOBkOM22kOA，2yAyBy1恒成立，A为BM的中点，得证.
