1、第7课时本章复习(1) 教学过程一、 知识梳理 1. 正弦定理、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容=2R.a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.变形形式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;abc=sinAsinBsinC.cosA=,cosB=,cosC=.作用1. 已知两角和任一边,求另一角和其他两边;2. 已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角.1. 已知三边,求三个角;2. 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 2. 在ABC中,已知a,b和A时,角B解的情况如下表:A为锐角A为钝角或直角图形(
2、ab情形的图形)满足条件absinAa=bsinAbsinAabab角B解的情况无解一解两解一解一解无解 3. 三角形中一些常用的结论:(1) SABC=acsinB=bcsinA=absinC=r(a+b+c).(其中R,r分别为ABC的外接圆和内切圆的半径)(2) ABabsinAsinB.二、 数学运用正弦定理、余弦定理的应用包括两大方面:一是数学内部的应用;二是实际应用.那么,正弦定理、余弦定理能解决数学内部哪些方面的问题呢?下面我们来看一看在三角形中的运用.(一) 求解三角形中的基本元素【例1】在ABC中,已知a=2, c=+, B=45, 求b及A1.(见学生用书课堂本P13)处理
3、建议引导学生审题,根据条件,已知a, c及其夹角B,自然想到先用余弦定理求出b;对于角A,可以利用余弦定理求得,也可以利用正弦定理求得.规范板书 b2=a2+c2-2accosB=(2)2+(+)2-22(+)cos45=12+(+)2-4(+1)=8, b=2.求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:解法一 cosA=, 又A(0, 180), A=60.解法二 sinA=sinB=sin45=, 又 +2.2+1.4=3.6, 221.8=3. 6, ac, 则0AsinB,试判断ABC的形状.规范板书解因为角A,B均为锐角,所以-A,B都是锐角.因为cosAsinB,所以cosA=si
4、nsinB,则-AB,即A+B,所以ABC为钝角三角形.(三) 三角形中的证明问题【例3】已知ABC,证明:-=-.3(见学生用书课堂本P14)处理建议三角形中同时含有边和角的等式的证明,通常要用正(余)弦定理进行边角归一,一是归为边的代数恒等式的证明,二是归为角的三角恒等式的证明.规范板书证明左边=-=-=-=-=右边.故原命题得证.变式已知ABC,证明:(a2-b2-c2)tanA+(a2-b2+c2)tanB=0.规范板书证明左边=(a2-b2-c2)+(a2-b2+c2)=(a2-b2-c2)+(a2-b2+c2)=(a2-b2-c2)+(a2-b2+c2)=-+=0=右边.故原命题得
5、证.题后反思(1) 例3的证明过程中用到了余弦二倍角公式,而此公式有三种形式(cos2A=cos2A-sin2A,cos2A=2cos2A-1,cos2A=1-2sin2A),由于考虑到等式右端为边的关系,故选用第三种形式,在转化为边的关系时较为简便.(2) 在变式题证明时应注意两点:一是切化弦的思路,二是结合正、余弦定理将角的关系转化为边的关系.(四) 三角形中的求值问题【例4】在ABC中,已知c=2,C=.(1) 若ABC的面积等于,求a,b;(2) 若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.4(见学生用书课堂本P14)处理建议主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公
6、式来解题.规范板书解(1) 由题意得a2+b2-ab=4,absinC=,所以ab=4,联立方程组解得(2) 由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,即cosA(sinB-2sinA)=0.当cosA=0时,A=,B=,a=,b=;当cosA0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组解得所以ABC的面积S=absinC=.题后反思(1) 对于三角形中的求值问题,主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题;除此之外,更要善于利用方程思想来解题.(2) 可将第二小题作为变式让学生练习,让他们体会方程思想的
7、应用.(五) 正、余弦定理在几何中的应用*【例5】如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=5,AC=9,BCA=30,ADB=45,求BD的长.5(例5)处理建议帮助学生分析思路: 由于AB=5,ADB=45,因此要求BD,可在ABD中,通过正弦定理求解,关键是确定BAD的正弦值; 在ABC中,AB=5,AC=9,BCA=30,因此可利用正弦定理求出sinABC,再依据ABC与BAD互补,确定sinBAD即可.规范板书解在ABC中,由正弦定理得sinABC=. ADBC, BAD=180-ABC, sinBAD=sinABC=.在ABD中,由正弦定理得BD=.题后反思正、余弦定理在几何中的应用
8、: 首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形; 其次确定与未知量相关联的量; 最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来.(变式)变式如图,我炮兵阵地位于A处,两观察所分别设于B,D处,已知ABD是边长等于a的正三角形,当目标出现于C处时,测得BDC=45,CBD=75,求炮击目标的距离AC.规范板书解在BCD中,由正弦定理得=, BC=a.在ABC中,由余弦定理得AC2=+a2-2aacos135=a2, AC=a.答:炮击目标的距离AC为a.三、 课堂练习 1. 在ABC中,若A=60,b=1,SABC=,则a=.提示SABC=bcsinA=1csin60=c=, c=4,从
9、而a2=b2+c2-2bccosA=1+16-4=13, a=. 2. 若ABC的三个内角满足sinAsinBsinC=51113,则ABC的形状为钝角三角形.提示由正弦定理可得abc=51113.设a=5t,b=11t,c=13t,由余弦定理得cosC=-0,所以C为钝角,故ABC为钝角三角形. 3. 在ABC中,已知=.(1) 求的值;(2) 若cosB=,b=2,求ABC的面积S.解(1) =可化为=,即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB,则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB,所以sin(A+B)=2sin(C+B).而A+B+C=,则sinC=2sinA,即=2.(也可以尝试用余弦定理来处理)(2) 由(1)得c=2a,由余弦定理得4=c2+a2-2accosB=4a2+a2-a2=4a2,所以a=1,c=2.S=acsinB=12=.四、 课堂小结掌握利用正、余弦定理解决三角形内部问题的常见题型的处理方法和技巧.
