1、第2课时两角和与差的正弦(1) 教学过程一、 问题情境1如何求sin15的值?二、 数学建构问题1上节课中,我们是如何求sin15的值?我们是将sin15变换成cos75,再利用两角和的余弦公式来计算.而sin15=sin(45-30),有没有两角和(差)的正弦公式?问题2能否用上述方法,将sin(+)转化成某个角的余弦?sin(+)=cos.问题3上述中涉及三个角和的余弦,如何展开才能使结果只含有, 的正弦和余弦?cos=cos=coscos+sinsin=sincos+cossin,即sin(+)=sincos+cossin,这就是两角和的正弦公式,记为S(+).问题4能得到两角差的正弦公
2、式吗?即sin(-)=.2解法一在两角和的正弦公式中,用-代替,就可以得到sin(-)=sincos-cossin,这就是两角差的正弦公式,记为S(-).解法二sin(-)=cos-(-)=cos-+=cos-cos-sin-sin=sincos-cossin.问题5能用同角三角函数的关系,由C()推导出S()?这样做有什么困难?用同角三角函数的关系推导时,会遇到符号确定的困难.问题6sin(-)的展开式是什么?它与sin(-)的展开式相同吗?为什么?sin(-)=sincos-cossina,它与sin(-)的展开式互为相反数.因为正弦函数是奇函数,所以sin(-)=-sin(-).公式理解
3、 1. 结构特征:左边是两角和的正弦,右边是异名积的和;左边是两角差的余弦,右边是异名积的差. 2. 公式中的, 可以是任意的角(或式子). 3. 运用公式要注意角及函数的位置排列顺序. 4. 当, 中有一个是90的整数倍时,用诱导公式比较简便.三、 数学运用【例1】已知sin=-, 是第四象限角,求sin的值.(见学生用书P63)处理建议由学生自己分析解题思路,教师引导学生注意cos的正负.规范板书解因为sin=-, 是第四象限角,所以cos=,所以sin-=sincos-cossin=-=.变式化简:sin+sin.规范板书解原式=sincos-cossin+=2sincos=cos.【例
4、2】已知, sin=,求sin的值.(见学生用书P64)处理建议先由学生自己分析解题思路,可能是“展开sin,与sin2+cos2=1联立,解方程组”.再引导学生观察分析, +之间的关系,根据两角差的正弦公式求解.规范板书解因为, 所以+, .又因为sin=,所以 cos+=,所以sin=sin+-=sin+cos-cos+sin=-=-.题后反思(1)三角变换中要注意角与角的关系,如=-, =+等等.(2)利用平方关系确定cos时,一定要注意+的范围.变式已知, sin=,求sin的值.规范板书解因为, 所以+.又因为sin(+)=,所以 cos+=.(1) 当cos=-时, cos,即(舍
5、去).(2) 当cos=时,sin=sin=sincos-cossin=-=-.【例3】(教材第108页例2)已知cos(+)=, cos=, , 均为锐角,求sin的值.(见学生用书P64)处理建议先由学生自己分析解题思路,可能是“展开cos(+),与sin2+cos2=1联立,解方程组”.再引导学生思考:在学习两角和差的余弦公式时,有类似的题目吗?是如何解决的?(将看成是+与的差,即=(+)-,再用两角差的正弦公式求解)规范板书解因为, 均为锐角,所以+(0, ).又因为cos(+)=, cos=,所以sin(+)=, sin=,所以sin=sin=sin(+)cos-cos(+)sin=
6、-=.题后反思 (1)在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为+和,所求角是,则=(+)-.(2)在解三角函数问题时,常通过条件缩小角的范围,避免讨论.如将本题的范围改为(0, ),则如何求解呢?(由cos=, (0, ),得)变式已知, 0, cos=, sin=,试求sin(+)的值.处理建议引导学生思考:(1) 本题中的已知角是什么?所求角是什么?两者间有什么关系?(已知角是+, -,所求角是+,两者间的关系是-=+(+)(2) 已知角的和是+(+),不是+,如何求sin(+)?(先求cos)规范板书解因为, 0,所以-, +.又因为cos=, sin=,所以si
7、n=-, cos=-.所以cos=cos+-=cos+cos-+sin+sin-=-+-=-.又因为cos=-sin(+),所以sin(+)=.*【例4】cos33cos12-cos57cos78=.处理建议引导学生从公式结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.规范板书解法一(用两角和的余弦公式)原式=cos33cos12-sin33sin12=cos(33+12)=.解法二(用两角差的正弦公式)原式=sin57cos12-cos57sin12=sin(57-12)=.题后反思逆用公式要注意公式的结构与条件结构是否相同.变式1(教材第109页例3)求函数y=sinx+cosx的最大值.处理建
8、议引导学生思考:(1) 正弦函数、余弦函数分别在何时取最大值?(正弦函数当x=2k+,kZ时取最大值,余弦函数当x=2k,kZ时取最大值)(2) 题中函数的最值是在x=2k+,kZ,或x=2k,kZ时取得吗?(3) 本题如何求最大值?规范板书解y=sinxcos+cosxsin=sin.当x+=2k+,kZ,即x=+2k,kZ时,函数y取得最大值1.题后反思本题还有其他解法吗?(y=sinxsin+cosxcos=cos.当x-=2k,kZ,即x=+2k,kZ时,函数y取得最大值1)变式2(教材第112页习题3.1(2)第5(3)题)求函数y=sinx+cosx的最大值.处理建议引导学生发现变
9、式1与变式2之间的关系.规范板书解y=2sinx+cosx=2sinxsin+cosxcos=2cosx-.当x-=2k,kZ,即x=+2k,kZ时,函数y取得最大值2.题后反思解题过程中提出的系数2与原系数1, 有何关系?(2=)四、 课堂练习 1. 计算:sin69cos99-cos69sin99=-. 2. 在ABC中, A=, cosB=,则sinC=.提示 A=, cosA=sinA=.又cosB=,B(0, ), sinB=, sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=. 3. 函数y=sinx-cosx的最小值是-2.提示y=2=2sinx-.当x-=2k-,kZ,即x=2k-,kZ时,函数y取得最小值-2. 4. 已知cos=, cos(+)=,且, 都为锐角,求sin的值.解由已知条件可得sin=, sin(+)=,所以sin=sin=sin(+)cos-cos(+)sin=-=.五、 课堂小结 1. 运用两角和与差的余弦公式及三角函数的诱导公式来推导两角和与差的正弦公式. 2. 两角和与差的正弦公式的结构特征. 3. 三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).
