1、 直线与椭圆的位置关系练习1. 椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为（ ） A4B2 C8 D解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A2.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围 解法一：由可得，即解法二：直线恒过一定点当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即综述：解法三：直线恒过一定点要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即3. 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程3. 解：
2、（1）把直线方程代入椭圆方程得 ， 即， 解得（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，根据弦长公式得 ：解得方程为4. 已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求ABF2的面积 解法一：由题可知：直线方程为 由可得，解法二：到直线AB的距离由可得，又解法三：令则，其中到直线AB的距离由可得，5. 已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程 解法一：令椭圆方程为，由题得：，由可得，又即 椭圆方程为解法二：令椭圆方程为，由题得：，由作差得又即 椭圆方程为6. 已
3、知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD图8()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. 解析 ()由题意可得点A,B,C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是.椭圆的标准方程是 ()由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.设M,N两点的坐标分别为联立方程: 消去整理得,有若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,所以, 即所以, 即得所以直线的方程为,或.所以存在过P(0,2)的直线:使得
4、以弦MN为直径的圆恰好过原点.7. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程 解 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2 又22,将m+n=2,代入得mn=由、式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=17. 椭圆与直线交于、两点， 且，其中为坐标原点（1）求的值；（2）若椭圆的离
5、心率满足，求椭圆长轴的取值范围 （1）设，由OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 又将，代入化简得 . (2) 又由（1）知，长轴 2a .8.设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点， 若试求l的取值范围.解：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 .由 ， 解得 ，所以 ，综上 9.已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足： 成等差数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段
6、MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。（1）解：依题意e ， a3，c2，b1，又F1(0，2)，对应的准线方程为椭圆中心在原点，所求方程为 (2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分直线l的斜率存在。 设直线l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l与椭圆交于不同的两点M、N，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290设 M(x1,y1),N(x2,y2) 把代入式中得，k或k直线l倾斜角10. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程 解：设弦两端点分别为，线段的中点，则得由题意知，则上式两端同除以，有，将代入得（1）将，代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求（2）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得， ， ， 将代入得： ， 再将代入式得： ， 即
