1、课后限时集训(十二)幂函数与二次函数建议用时：40分钟一、选择题1(多选)若幂函数yf(x)的图象经过点(3,27)，则幂函数f(x)是()A奇函数B偶函数C增函数D减函数AC设幂函数为f(x)xa(a为常数)，因为其图象经过点(3,27)，所以273a，解得a3，所以幂函数f(x)x3.因为f(x)的定义域为R，且f(x)(x)3x3f(x)，所以f(x)是奇函数，又a30，所以f(x)在R上是增函数故选AC.2.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()AdcbaBabcdCdcabDabdcB幂函数的图象在第一象限内，x1的右
2、侧部分的图象，由下至上，幂指数增大，所以abcd.故选B.3设x0.20.3，y0.30.2，z0.30.3，则x，y，z的大小关系为()AxzyByxzCyzxDzyxA由函数y0.3x在R上单调递减，可得yz.由函数yx0.3在(0，)上单调递增，可得xz.所以xzy.4(多选)(2020广东深圳模拟改编)已知幂函数g(x)(2a1)xa1的图象过函数f(x)mxb(m0，且m1)的图象所经过的定点，则b的值可以为()ABCDBC由于g(x)(2a1)xa1为幂函数，则2a11，解得a1，所以g(x)x2.函数f(x)mxb(m0，且m1)，当xb时，f(b)mbb，故f(x)的图象所经过
3、的定点坐标为，所以g(b)，所以b2，解得b.故选BC.5已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc，若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0Ba0,4ab0Ca0,2ab0Da0,2ab0A由f(0)f(4)，得f(x)ax2bxc图象的对称轴为x2，4ab0，又f(0)f(1)，f(4)f(1)，f(x)先减后增，于是a0，故选A.6二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意的xR都有f(x)f(4x)成立，若f(12x2)f(12xx2)，则实数x的取值范围是()A(2，)B(，2)(0,2)C(2,0)D(，2)(0，)C由题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x2，
4、图象在对称轴左侧对应的函数为减函数又12x22,12xx22(x1)22，所以由f(12x2)f(12xx2)，得12x212xx2，解得2x0.故选C.二、填空题7已知二次函数f(x)的图象经过点(2，6)，方程f(x)0的解集是1,4，则f(x)的解析式为_f(x)x23x4因为f(x)是二次函数，且方程f(x)0的解集是1,4，即f(x)的图象过点(1,0)和(4,0)，所以可设f(x)a(x1)(x4)(a0)又因为f(x)的图象经过点(2，6)，所以(21)(24)a6，即a1.故f(x)(x1)(x4)x23x4.8已知函数f(x)(m2)x2(m8)x(mR)是奇函数，若对于任意
5、的xR，关于x的不等式f(x21)f(a)恒成立，则实数a的取值范围是_(，1)由f(x)f(x)得(m2)x2(m8)x(m2)x2(m8)x，则m20，即m2，f(x)6x，f(x)是R上的奇函数，且为单调递减，由f(x21)f(a)恒成立得x21a恒成立又当xR时，x211，所以a1.9若关于x的方程x2xm0在1,1上有解，则实数m的取值范围是_法一：由x2xm0得mx2x，设f(x)x2x，则f(x)2，当x1,1时，f(x)min，f(x)maxf(1)2，即f(x)2，m2.法二：设f(x)x2xm，则f(x)2m，因为方程f(x)0在1,1上有解，则解得m2.三、解答题10已知
6、函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴为x2,3，f(x)minf 3，f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为.(2)函数f(x)图象的对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a，满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1，满足题意综上可知，a或1.11已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)f(2)3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间2a，a1上不单调，求实
7、数a的取值范围；(3)在1,1上，yf(x)的图象恒在y2x2m1的图象上方，试确定实数m的取值范围解(1)f(x)是二次函数，且f(0)f(2)，函数f(x)图象的对称轴为直线x1.又f(x)的最小值为1，故可设f(x)A(x1)21(A0)f(0)3，A13，解得A2，f(x)2(x1)212x24x3.(2)要使f(x)在区间2a，a1上不单调，则2a1a1，解得0a.(3)由已知得2x24x32x2m1在1,1上恒成立，化简得mx23x1.设g(x)x23x1，则g(x)在区间1,1上单调递减，g(x)在区间1,1上的最小值为g(1)1，m1.1(多选)(2020天津北辰区一诊改编)已
8、知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x24x，则下列选项正确的是()A函数f(x)的值域为4，)Bf(x)的零点有4个C不等式f(x2)5的解集为(7,3)D方程|f(x)|4的根有4个ACD对于A，由于函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，当x0时，f(x)x24x4，故函数f(x)的值域为4，)，A正确；对于B，当x0时，由f(x)x24x0，得x0或x4.由于函数f(x)为偶函数，故f(x)还有一个零点x4，f(x)的零点有3个，故选项B错误；对于C，当x0时，由f(x)x24x5，得0x5；当x0时，根据偶函数图象的对称性知不等式f(x)5的解集为x|5x0，
9、所以不等式f(x)5的解集为x|5x5，所以不等式f(x2)5的解集为x|5x25x|7x3，故C正确；作出函数y|f(x)|的图象(图略)，易得方程|f(x)|4的根有4个，D正确故选ACD.2(多选)若函数f(x)(x1)|xa|在区间(1,2)上单调递增，则满足条件的实数a的值可能是()A0B2 C2D3ABD根据题意可知f(x)对于yx2(a1)xa及yx2(a1)xa，其图象的对称轴均为直线x.当a，即a1时，作出f(x)的大致图象(为方便说明，略去y轴以及坐标原点)如图1所示，图1由图可知，此时要满足题意，只需a2或1，解得a2或a1，故a1；当a，即a1时，作出f(x)的大致图象
10、(为方便说明，略去y轴以及坐标原点)如图2所示，图2由图可知，此时要满足题意，只需a1或2，解得a1或a3，故a3.综上所述，a1或a3.结合选项可知，选ABD.3已知值域为1，)的二次函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且方程f(x)0的两个实根x1，x2满足|x1x2|2.(1)求f(x)的表达式；(2)函数g(x)f(x)kx在区间1,2上的最大值为f(2)，最小值f(1)，求实数k的取值范围解(1)由f(1x)f(1x)可得f(x)的图象关于直线x1对称，设f(x)a(x1)2hax22axah(a0)，由函数f(x)的值域为1，)，可得h1，根据根与系数的关系可得x1x22，x1x21，所以|x1x2|2，解得a1，所以f(x)x22x.(2)由题意得函数g(x)在区间1,2上单调递增，又g(x)f(x)kxx2(k2)x. 所以g(x)图象的对称轴为x，则1，解得k0，故实数k的取值范围为(，0.
