1、1.7.2定积分在物理中的应用明目标、知重点1能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题2通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值变速直线运动做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即v(t)dt.变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x)所做的功为F(x)dx.探究点一变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答不同路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：(1)当v(t)0时，
2、求某一时间段内的路程和位移均用v(t)dt求解；(2)当v(t)0，得t(0,1)(3,4)这说明t(1,3)时质点运动方向与t(0,1)(3,4)时运动方向相反故s|t24t3|dt(t24t3)dt(4tt23)dt(t24t3)dt4.即在时刻t4时，该质点运动的路程为4 m.探究点二变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为WFs，那么变力做功问题怎样解决呢？答与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从xa到xb(ab)，可以利用定积分得到WF(x)dx.例2如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C运动到D，其中AB50 m，B
3、C40 m，CD30 m，变力F(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30角，在BC段运动时F与运动方向成45角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动到D所做的功(1.732，1.414，精确到1 J)解在AB段运动时F在运动方向上的分力F1Fcos 30，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2Fcos 45.由变力做功公式得：Wcos 30dxcos 45dx600|6004506001 723 (J). 所以物体由A运动到D变力F所做的功为1 723 J.反思与感悟解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步(2)根据变力做功的公式
4、将其转化为求定积分的问题跟踪训练2设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功解设x表示弹簧伸长的厘米，F(x)表示加在弹簧上的力，设F(x)kx，依题意得x5时F(x)100，k20，F(x)20x.弹簧由25 cm伸长到40 cm即x0到x15所做的功W20xdx10x2|2 250(Ncm)22.5(J)答使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功为22.5 J.1从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为vgt(g为常数)，则电视塔高为()A.g B.gC.g
5、D2g答案C解析hgtdtgt2|g.2一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)270.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车()A405 B540C810 D945答案A解析停车时v(t)0，由270.9t0，得t30，sv(t)dt(270.9t)dt(27t0.45t2)|405.3一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功解设F(x)kx，因为弹簧压缩x cm可产生4x N的力，k4.弹簧克服弹力所做的功为W4xdx4(x2)|50(Ncm)0.5(J)呈重点、现规律1已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过
6、的路程，就是求速度方程的定积分解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消2利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.一、基础过关1一物体沿直线以v2t1 (t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在12 s间行进的路程为()A1 m B2 mC3 m D4 m答案D解析s(2t1)dt(t2t)|4(m)2一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运
7、动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为()A120 m B437.5 mC360 m D480 m答案B解析从A处到B处所用时间为25 s.所以|AB|1.4tdt0.7t2|437.5 (m)3以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度为()A. m B. mC. m D. m答案A解析v0时物体达到最高，此时4010t20，则t2 s.又v040 m/s，t00 s.h(4010t2)dt(40tt3)|(m)4如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为()A0.5 J B1
8、JC50 J D100 J答案A解析由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)x，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为WF(x)dxxdxx2|50 (Ncm)0.5 (J)5一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与F(x)相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为()A44 J B46 JC48 J D50 J答案B解析WF(x)dx10dx(3x4)dx10x|(x24x)|46(J)6做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)1ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x10处运动到点x21处，力F(x)所做的功是()A1e BeC
9、. De1答案B解析WF(x)dx(1ex)dx(xex)|(1e)1e.二、能力提升7若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时克服弹力所做的功为_答案0.36 J解析弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设Fkx，求得k50，F(x)50x.W50xdx25x2|0.36 (J)8汽车以每小时32 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a1.8 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为_(保留小数点后两位)答案21.95 m解析t0时，v032 km/hm/s m/s.刹车后减速行驶，v(t)v0at1.8 t停止时，v(t)0，则1.8 t0，得t s，
10、所以汽车所走的路程sv(t)dt|21.95(m)9把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式Fk(其中k为常数)确定在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从ra处移动到rb(a0)当x0时，t0；当xa时，t().所以阻力所做的功为W阻F阻dxkv2vdt9kb2t43bt2dt27kb3t6dtkb3t7|k.故物体由x0运动到xa时，阻力所做的功为k.12物体A以速度vA3t21(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比
11、B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？解依题意知物体A，B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解设a秒后物体A比B多运动5米，则A从开始到a秒末所走的路程为sAvAdt(3t21)dta3a；B从开始到a秒末所走的路程为sBvBdt10tdt5a2.由题意得sAsB5，即a3a5a25，得a5.此时sA535130(米)，sB552125(米)故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米三、探究与拓展13有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求(1)P从原点出发，当t6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值解(1)由v(t)8t2t20得0t4，即当0t4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P离开原点的路程s1(8t2t2)dt(8t2t2)dt(4t2t3)|(4t2t3)|.当t6时，点P的位移为(8t2t2)dt(4t2t3)|0.(2)依题意知(8t2t2)dt0，即4t2t30，解得t0或t6，t0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t6是所求的值所以，t6.
