1、综合测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在题目给出的四个选项中有且只有一个正确答案，请将答案序号填入题后的括号中)1“acbd”是“ab且cd”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A2不等式|x2|x2的解集是()A(0,2) B(，2)C(2，) D(，2)(2，)【答案】B3已知a，bR，且ab0，则下列不等式不正确的是()A|ab|ab B|ab|a|b|C2|ab| D2【答案】B4不等式|x|(13x)0的解集是()A B(，0)C D【答案】B5(2017年铜陵期末)设a0，b0，若2是4
2、a和2b的等比中项，则的最小值为()A B4 C D5【答案】C6已知m2n2a，x2y2b，则mxny的最大值是()A B2 C Dab【答案】C7设点G是ABC的重心，若A120，1，则|AG|的最小值是()A B C D【答案】B【解析】A120，1，|cos 1201，即|2.G是ABC的重心，()，|.故选B8已知实数x，y，z满足2xy2z60，x2y2z24，则2xyz()A B C D2【答案】B【解析】实数x，y，z满足2xy2z60，2xy2z6，由柯西不等式可得(x2y2z2)22(1)2(2)2(2xy2z)236，x2y2z24，又x2y2z24，当时，x2y2z24
3、，此时xz2y，代入2xy2z60，解得y，x，z，2xyz.9若x4y40，x0，y0，则lg xlg y的最大值为()A40 B10 C4 D2【答案】D【解析】x4y40，x0，y0，lg xlg ylg(xy)lg(x4y)lg2lg 1002，当且仅当即x20，y5时，等号成立lg xlg y的最大值为2.10(2017年信阳校级月考)对任意实数x，若不等式|x1|x2|k恒成立，则k的取值范围是()A(，3) B(，3 C(3，) D3，)【答案】A【解析】|x1|x2|表示数轴上的点x到1,2两点的距离之差，易得3|x1|x2|3.要使|x1|x2|k恒成立，则k0；ab0，b0
4、；a0，b0且0，即a，b不为0且同号即可，故均能使2成立.16不等式|a2|sin y对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为_【答案】1,3【解析】x(，22，)，2，)，其最小值为2.又sin y的最大值为1.故不等式|a2|sin y恒成立时，有|a2|sin y恒成立，即|a2|1恒成立，解得a1,3三、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17(本小题满分10分)已知：xR，ax21，b4x5.求证：a，b中至少有一个不小于0.【证明】假设a，b都小于0，即a0，b0，则ab0.又abx214x5x24x4(x2)20，这与假设所得ab0矛盾，故
5、假设不成立a，b中至少有一个不小于0.18(本小题满分12分)用放缩法证明：2(1)12(nN*)【证明】1112(1)2()2()12(1)212.又因为12(1)，2()，2()，所以2(1)1.综上所述：2(1)12成立19(本小题满分12分)已知长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大？求出这个最大值【解析】设长方体的体积为V，长、宽、高分别是a，b，c， 则Vabc，S2ab2bc2ac.V2(abc)2(ab)(bc)(ac)33.当且仅当abbcac，即abc时，上式取“”， V2有最大值.由解得abc.答：当长方体的长、宽、高都为时，体积最大为
6、.20.(本小题满分12分)(2018年黄山模拟)已知二次函数f(x)x2axb(a，bR)的定义域为1,1，且|f(x)|的最大值为M.求证：(1)|1b|M；(2)M.【证明】(1)M|f(1)|1ab|，M|f(1)|1ab|，2M|1ab|1ab|(1ab)(1ab)|2|1b|，M|1b|.(2)依题意，M|f(1)|，M|f(0)|，M|f(1)|.又|f(1)|1ab|，|f(1)|1ab|，|f(0)|b|，4M|f(1)|2|f(0)|f(1)|1ab|2|b|1ab|(1ab)2b(1ab)|2.M.21(本小题满分12分)已知数列是等差数列，b11，b1b2b10145.
7、(1)求数列的通项公式bn；(2)设数列的通项anloga(其中a0且a1)，记Sn是数列的前n项和，试比较Sn与logabn1的大小，并证明你的结论【解析】(1)设数列的公差为d，由题意得bn3n2.(2)证明：由bn3n2知Snloga(11)logalogaloga，而logabn1loga，于是，比较Sn与logabn1的大小比较(11)与的大小取n1，有(11)，取n2，有(11)，推测：(11)(*)当n1时，已验证(*)式成立假设nk(k1且kN*)时(*)式成立，即(11)，则当nk1时，(11)，3()30.(3k2).从而(11)，即当nk1时，(*)式也成立由知，(*)式
8、对任意正整数n都成立22(本小题满分12分)已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，BYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明【解析】(1)Sn(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,6)，所以f(6)13.(2)当n6时，f(n)(tN*)下面用数学归纳法证明：n6时，f(6)6213，结论成立；假设nk(k6)时，结论成立，那么nk1时，Sk1在
9、Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：i若k16t，则k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3(k1)2，结论成立；ii.若k16t1，则k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；iii.若k16t2，则k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；iv.若k16t3，则k6t2，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；v若k16t4，则k6t3，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；vi.若k16t5，则k6t4，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立综上所述，结论对满足n6的自然数n均成立
