1、综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分在题目给出的四个选项中有且只有一个正确答案,请将答案序号填入题后的括号中)1“acbd”是“ab且cd”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A2不等式|x2|x2的解集是()A(0,2) B(,2)C(2,) D(,2)(2,)【答案】B3已知a,bR,且ab0,则下列不等式不正确的是()A|ab|ab B|ab|a|b|C2|ab| D2【答案】B4不等式|x|(13x)0的解集是()A B(,0)C D【答案】B5(2017年铜陵期末)设a0,b0,若2是4
2、a和2b的等比中项,则的最小值为()A B4 C D5【答案】C6已知m2n2a,x2y2b,则mxny的最大值是()A B2 C Dab【答案】C7设点G是ABC的重心,若A120,1,则|AG|的最小值是()A B C D【答案】B【解析】A120,1,|cos 1201,即|2.G是ABC的重心,(),|.故选B8已知实数x,y,z满足2xy2z60,x2y2z24,则2xyz()A B C D2【答案】B【解析】实数x,y,z满足2xy2z60,2xy2z6,由柯西不等式可得(x2y2z2)22(1)2(2)2(2xy2z)236,x2y2z24,又x2y2z24,当时,x2y2z24
3、,此时xz2y,代入2xy2z60,解得y,x,z,2xyz.9若x4y40,x0,y0,则lg xlg y的最大值为()A40 B10 C4 D2【答案】D【解析】x4y40,x0,y0,lg xlg ylg(xy)lg(x4y)lg2lg 1002,当且仅当即x20,y5时,等号成立lg xlg y的最大值为2.10(2017年信阳校级月考)对任意实数x,若不等式|x1|x2|k恒成立,则k的取值范围是()A(,3) B(,3 C(3,) D3,)【答案】A【解析】|x1|x2|表示数轴上的点x到1,2两点的距离之差,易得3|x1|x2|3.要使|x1|x2|k恒成立,则k0;ab0,b0
4、;a0,b0且0,即a,b不为0且同号即可,故均能使2成立.16不等式|a2|sin y对一切非零实数x,y均成立,则实数a的范围为_【答案】1,3【解析】x(,22,),2,),其最小值为2.又sin y的最大值为1.故不等式|a2|sin y恒成立时,有|a2|sin y恒成立,即|a2|1恒成立,解得a1,3三、解答题(本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17(本小题满分10分)已知:xR,ax21,b4x5.求证:a,b中至少有一个不小于0.【证明】假设a,b都小于0,即a0,b0,则ab0.又abx214x5x24x4(x2)20,这与假设所得ab0矛盾,故
5、假设不成立a,b中至少有一个不小于0.18(本小题满分12分)用放缩法证明:2(1)12(nN*)【证明】1112(1)2()2()12(1)212.又因为12(1),2(),2(),所以2(1)1.综上所述:2(1)12成立19(本小题满分12分)已知长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高各是多少时,它的体积最大?求出这个最大值【解析】设长方体的体积为V,长、宽、高分别是a,b,c, 则Vabc,S2ab2bc2ac.V2(abc)2(ab)(bc)(ac)33.当且仅当abbcac,即abc时,上式取“”, V2有最大值.由解得abc.答:当长方体的长、宽、高都为时,体积最大为
6、.20.(本小题满分12分)(2018年黄山模拟)已知二次函数f(x)x2axb(a,bR)的定义域为1,1,且|f(x)|的最大值为M.求证:(1)|1b|M;(2)M.【证明】(1)M|f(1)|1ab|,M|f(1)|1ab|,2M|1ab|1ab|(1ab)(1ab)|2|1b|,M|1b|.(2)依题意,M|f(1)|,M|f(0)|,M|f(1)|.又|f(1)|1ab|,|f(1)|1ab|,|f(0)|b|,4M|f(1)|2|f(0)|f(1)|1ab|2|b|1ab|(1ab)2b(1ab)|2.M.21(本小题满分12分)已知数列是等差数列,b11,b1b2b10145.
7、(1)求数列的通项公式bn;(2)设数列的通项anloga(其中a0且a1),记Sn是数列的前n项和,试比较Sn与logabn1的大小,并证明你的结论【解析】(1)设数列的公差为d,由题意得bn3n2.(2)证明:由bn3n2知Snloga(11)logalogaloga,而logabn1loga,于是,比较Sn与logabn1的大小比较(11)与的大小取n1,有(11),取n2,有(11),推测:(11)(*)当n1时,已验证(*)式成立假设nk(k1且kN*)时(*)式成立,即(11),则当nk1时,(11),3()30.(3k2).从而(11),即当nk1时,(*)式也成立由知,(*)式
8、对任意正整数n都成立22(本小题满分12分)已知集合X1,2,3,Yn1,2,3,n(nN*),设Sn(a,b)|a整除b或b整除a,aX,BYn,令f(n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值;(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明【解析】(1)Sn(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,6),所以f(6)13.(2)当n6时,f(n)(tN*)下面用数学归纳法证明:n6时,f(6)6213,结论成立;假设nk(k6)时,结论成立,那么nk1时,Sk1在
9、Sk的基础上新增加的元素在(1,k1),(2,k1),(3,k1)中产生,分以下情形讨论:i若k16t,则k6(t1)5,此时有f(k1)f(k)3(k1)2,结论成立;ii.若k16t1,则k6t,此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2,结论成立;iii.若k16t2,则k6t1,此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2,结论成立;iv.若k16t3,则k6t2,此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2,结论成立;v若k16t4,则k6t3,此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2,结论成立;vi.若k16t5,则k6t4,此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2,结论成立综上所述,结论对满足n6的自然数n均成立