1、第五讲函数yAsin(x)的图象及应用A组基础巩固一、选择题1(2021永州模拟)函数y2cos的部分图象大致是(A)解析由y2cos可知,函数的最大值为2,故排除D;又因为函数图象过点,故排除B;又因为函数图象过点,故排除C.2为了得到函数g(x)sin x的图象,需将函数f(x)sin的图象(D)A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析f(x)sinsinsinsin,由f(x)sin的图象得到函数g(x)sin x的图象,向右个单位长度即可故选D.3将函数ysin x的图象向左平移个单位,得到函数yf(x)的图象,则下列说法正确的是(D)Ayf
2、(x)是奇函数Byf(x)的周期为Cyf(x)的图象关于直线x对称Dyf(x)的图象关于点对称解析由题意知,f(x)cos x,所以它是偶函数,A错;它的周期为2,B错;它的对称轴是直线xk,kZ,C错;它的对称中心是点,kZ,D对4将函数f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象若函数g(x)Asin(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(C)Af(x)sinBf(x)cosCf(x)cosDf(x)sin解析根据函数g(x)的图象可知A1,T,T,2,所以g(x)sin(2x),所以gsin0,所以2k,kZ,2k,kZ,又因为|0)的最小正周期为,若将y
3、f(x)的图象上所有的点向右平移个单位,所得图象对应的函数g(x)为奇函数,则f()(C)A.BC.D1解析f(x)cos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin,由于函数yf(x)的最小正周期为,则22,1,则f(x)sin,将函数yf(x)的图象上所有的点向右平移个单位,所得图象对应的函数为g(x)sin,由于函数yg(x)为奇函数,则2k(kZ),可得(kZ),00)的图象相邻两条对称轴之间的距离是,则该函数的一个单调递增区间为(A)A.BC.D解析根据已知得f(x)sin xcos x22sin.根据相邻两条对称轴之间的距离是,得T,所以,即2,所以函数f(x)2sin.再根据正
4、弦函数的单调性可得该函数的单调递增区间是2k2x2k(kZ),解得kxk(kZ)令k0即可求得其一个单调递增区间是.故选A.8(理)将函数f(x)cos1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)具有以下说法不正确的是(A)A最大值为,图象关于直线x对称B图象关于y轴对称C最小正周期为D图象关于点成中心对称(文)(2020湖北襄阳摸底)将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P,则的值可以是(B)A.BC.D解析(理)将函数f(x)cos1的图象向左平移个单位长度,得到y
5、cos 1cos(2x)1cos 2x1的图象;再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)cos 2x的图象对于函数g(x),它的最大值为,由于当x时,g(x),不是最值,故g(x)的图象不关于直线x对称,故A错误;由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故B正确;它的最小正周期为,故C正确;当x时,g(x)0,故函数的图象关于点成中心对称,故D正确(文)由题意知g(x)sin(2x2),由f(0)sin ,知.由g(0)sin(2)sin,得22k(kZ)或22k(kZ),即k(kZ)或k(kZ),当k1时,.故选B.二、填空题9(1)为了得到函数ysin(x1)的图象,只需把函数ysin
6、 x的图象上所有的点向_左_平移_1_个单位长度(2)为了得到函数ysin(2x1)的图象,只需把函数ysin 2x的图象上所有的点向_左_平移个单位长度10已知函数f(x)2sin的图象经过点(0,1),则该函数的振幅为_2_,周期T为_6_,频率为,初相为.解析振幅A2,T6,f,因为图象过点(0,1),所以12sin ,所以sin ,又|,所以.11(2021重庆模拟)已知函数yAsin(x)的图象上有一个最高点的坐标为(2,),由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点(6,0),则此解析式为ysin.解析由题意得:A,62,T16,又sin1,2k(kZ),又|,所以,所以函
7、数解析式为ysin.12.已知函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示,又x1,x2,且f(x1)f(x2),则f(x1x2).解析设f(x)周期为T,由题图可知,则T,2,又,所以f(x)的图象过点,即sin1,所以22k,kZ,又|0),且f(x)的最小正周期为.(1)求的值及函数f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,求当x时,函数g(x)的最大值解析(1)由题意知f(x)sin 2x1cos 2x2sin1,周期T,1,f(x)2sin1,令2k2x2k,kZ,得kxk,kZ.函数f(x)的单调递减区间为,kZ.(2)g(x)2s
8、in 12sin1,当x时,2x,当2x,即x时,g(x)max2113.14某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为,求的最小值解析(1)根据表中已知数据,解得A5,2,.数据补全如下:x02xAsin(x)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin,得g(x)5sin.因为ysin x图象的对称中心为
9、(k,0),kZ,所以令2x2k,kZ,解得x,kZ.由于函数yg(x)图象的一个对称中心为,令,kZ,解得,kZ.由0可知,当k1时,取得最小值.B组能力提升1(2021郑州市第一次质量预测)若将函数f(x)sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为(A)A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析将函数f(x)sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度,得到函数g(x)sin sin(2x)sin 2x的图象,令2k2x2k(kZ),可得kxk(kZ),因此函数g(x)的单调递增区间为(kZ)故选A.2(2020辽宁省实验中学期中
10、改编)已知函数yAsin(x)B的部分图象如图,则下面不正确的是(C)AA2B2CB4D解析根据函数yAsin(x)B的图象知,A2,B2,A正确,C错误;设函数的最小正周期为T,则T,T,解得2,B正确;当x时,x22k(kZ),且|,D正确故选C. 3(2019全国卷,5分)关于函数f(x)sin |x|sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间上单调递增f(x)在,有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确的结论的编号是(C)ABCD解析解法一:f(x)sin |x|sin(x)|sin |x|sin x|f(x),f(x)为偶函数,故正确;当x时,f(x)sin xsi
11、n x2sin x,f(x)在上单调递减,故不正确;f(x)在,的图象如图所示,由图可知函数f(x)在,只有3个零点,故不正确;ysin |x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到,f(x)可以取到最大值2,故正确综上,正确结论的序号是.故选C.解法二:f(x)sin |x|sin(x)|sin |x|sin x|f(x),f(x)为偶函数,故正确,排除B;当x0)的最小正周期为,最大值为4,则f_3_.解析本题考查三角恒等变换,周期性的应用,三角函数值的求解f(x)2sin xcos x2cos2xasin 2xcos 2xa12sina1.由题知,所以1.因为f(x)的最大值为4
12、,所以2a14,得a3,则f(x)2sin2,所以f2sin23.5(2021河北沧州模拟)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式,并求它的对称中心的坐标;(2)将函数f(x)的图象向右平移m个单位,得到的函数g(x)为偶函数,求函数yf(x)g(x)的最值及相应的x值解析(1)根据图象知A,T,T,2,f(x)sin(2x)将点代入,即sin.又|,f(x)sin.令2xk(kZ),解得x(kZ),f(x)的对称中心的坐标为(kZ)(2)g(x)sin,g(x)为偶函数,2mk(kZ),m(kZ)又0m,m,g(x)sincos 2x,yf(x)g(x)3cos 2xsin3cos 2xsin 4xsin.又x,4x.sin,ymax,此时x;ymin,此时x.