1、1.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式内容标准学科素养1.能根据定义求函数yc，yx，yx2，y，y的导数；2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.明确数学公式强化逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第6页基础认识知识点几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式1利用y2x，y3x，y4x的图象确定函数的导数分别是什么？并归纳ykx(kR)的导数是什么？提示：利用导数的几何意义结合图象可得y2x，y3x，y4x的导数分别是y2，y3，y4.归纳可得ykx(kR)的导数为yk.2利用yx，yx2的导数猜想yxn(nQ*)的导数是什么？提示：若yf
2、(x)xn(nQ*)，则f(x)nxn1.知识梳理1.几个常见函数的导数公式函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)思考：1.常用函数的导数有什么特点？提示：(1)常数函数的导数为零(2)有理数幂函数的导数依然为幂函数，
3、且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去1.2几个基本初等函数导数公式有什么特点？提示：(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数3函数与其导函数的奇偶性有什么关系？提示：(1)常数的导数是0.(2)奇函数的导函数为偶函数(3)偶函数的导函数为奇函数自我检测1已知函数f(x)5，则f(1)等于()A5 B1 C0 D不存在解析：因为f(x)5，所以f(x)0，所以f(1)0.故选C.答案：C2下列各式正确的是()A(sin )cos (为常数)B(cos x)
4、sin xC(sin x)cos xD(x5)x6解析：ysin 为常数函数，且(sin )0，选项A不正确；ycos x为余弦函数，且(cos x)sin x，选项B不正确；ysin x为正弦函数，且(sin x)cos x，选项C正确；yx5为幂函数，且(x5)5x6，选项D不正确故选C.答案：C授课提示：对应学生用书第7页探究一利用求导公式求函数的导数例1求下列函数的导数：(1)yx3；(2)y3x；(3)y；(4)ylog5x；(5)ycos ；(6)ysin ；(7)yln x；(8)yex.解析(1)y3x4.(2)y3xln 3.(4)y.(5)ysin x，ycos x.(6)
5、y0.(7)y.(8)yex.方法技巧利用导数公式求函数导数的注意事项(1)分清所给函数是幂函数、指数函数、对数函数，还是三角函数，然后选择相应的公式，代入求解(2)要特别注意“与ln x”“ax与loga x”“sin x与cos x”的导数的区别跟踪探究1.求下列函数的导数：(1)ylg x；(2)yx；(3)yx；(4)y21.解析：(1)y(lg x).(2)yxln xln 2.(4)因为y21sin2 2sin cos cos21sin x，所以y(sin x)cos x.探究二导数公式的综合应用例2已知曲线yln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程解析因为y
6、，所以当xe时，y，即切线斜率为，所以切线方程为y1(xe)，即xey0.延伸探究1.若本例条件不变，求曲线过O(0,0)的切线方程解析：因为O(0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率k，又因为k，且bln a，所以ae，b1，所以切线方程为xey0.2若本例变为方程ln xmx恰有一个根，求m的取值范围解析：问题可以转化为函数yln x与ymx的图象有且仅有一个公共点由图象易知m0满足条件另外就是ymx是yln x的切线时满足条件因为ymx图象过(0,0)，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率m，又因为m，且bln a，所以ae，b1，m，即m的取值范围为(，0.方法技巧(
7、1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪探究2.已知曲线y.求：(1)曲线上与直线y2x4平行的切线方程；(2)求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程解析：(1)设切点为(x0，y0)，由y得y|xx0.因为切线与y2x4平行，所以2，所以x0，所以y0，所以切点为.则所求切线方程为y2，即16x8y10.(2)设切点P1(x1，)，则切线斜率为y|xx1，所以切线方程为y(xx1)，又切线过点P(0,1)，所以1(x1)
8、，即2，x14.所以切线方程为y2(x4)即x4y40.授课提示：对应学生用书第8页课后小结(1)利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归(2)有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.(3)对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化素养培优没有意识到切点也在曲线上致误易错案例：过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为_易错分析：遇到需要设切点的情况，要牢记导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上，考查逻辑推理、数学运算的学科素养自我纠正：yex，设切点为(x0，y0)，则y0ex0，则切线方程为yex0ex0(xx0)，由于原点在切线上，则ex0ex0(x0)x01，y0ex0e，即切点为(1，e)答案：(1，e)
