1、第三章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知a,bR,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满足即a=b,且a-b,也就是a=b0.结合题意知充分性不成立,必要性成立,故选C.答案C2若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,bR,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,- 2B.3,2C.3,-3D.-1,4答案A3若a为实数
2、,且=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案D4i是虚数单位,复数等于()A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i解析=2-i.答案B5设i是虚数单位,则复数i3-=()A. -iB.-3iC.iD.3i答案C6若z=1+i(i是虚数单位),则+z2等于()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析z=1+i,+z2=+(1+i)2=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.故选D.答案D7已知复数z=1-2i,则等于()A.iB.iC.iD.i解析i.答案D8若O是原点,向量对应的复数分别为1-2i,-4+3i,则向量对应的复数是()A.-5+5i
3、B.-5-5iC.5+5iD.5-5i解析对应的复数为1-2i-(-4+3i)=5-5i,故选D.答案D9已知复数z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(aR)不是纯虚数,则有()A.a0B.a2C.a0,且a2D.a-1解析若z为纯虚数,则所以a=-1.又z不是纯虚数,所以a-1.故选D.答案D10已知i为虚数单位,a为实数,若复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a”是“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a) i,所以复数z在复平面内对应的点M的坐标为(a+2
4、,1-2a).所以点M在第四象限的充要条件是a+20,且1-2a,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知a,bR,且a-1+2ai=4+bi,则b=.解析由题意,得解得答案1012若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为.解析因为z1-z2=(4+29i)-(6+9i)=-2+20i,所以(z1-z2)i=-20-2i,其实部为-20.答案-2013已知zC,且(1-i)z=2i(i是虚数单位),则z=,|z|=.解析由题意,得z=-1+i.所以|z|=.答案-1+i14若复数z满足z(1
5、+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数=.解析设z=a+bi(a,bR),则(a+bi)(1+i)=1-i,即a-b+(a+b)i=1-i,则解得所以z=-i.所以=i.答案i15对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2R),定义运算“”为z1z2=x1x2+y1y2.设非零复数1,2在复平面内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点,若12=0,则在P1OP2中,P1OP2的大小为.解析设非零复数1=a1+b1i,2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2R,且0,0),则得点P1(a1,b1),P2(a2,b2).由题意知P1,P2不为原点,且由1
6、2=0,得a1a2+b1b2=0.由两条直线垂直的充要条件,知直线OP1,OP2垂直.所以OP1OP2,即P1OP2=90.答案90三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知复数z=(2+i)m2-2(1-i).求实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数?分析先把复数z化简整理为a+bi(a,bR)的形式,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.解因为mR,所以复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当即m=
7、2时,z为零.(2)当m2-3m+20,即m2,且m1时,z为虚数.(3)当即m=-时,z为纯虚数.(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.17(8分)设f(z)=z-2i+|z|,若z1=3+4i,z2=-2-i,求f(z1-z2).解z1-z2=3+4i-(-2-i)=5+5i,又f(z)=z-2i+|z|,f(z1-z2)=f(5+5i)=5+5i-2i+5=5+5+3i.18(9分)设z1,z2互为共轭复数,且(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,求z1,z2.解设z1=x+yi(x,yR),则z2=x-
8、yi.将z1,z2代入(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,得(x+yi)+(x-yi)2+5(x+yi)(x-yi)i=8+15i,即4x2+5(x2+y2)i=8+15i.利用复数相等的充要条件,有解得故所求复数z1,z2为19(10分)复数z满足|z+3-i|=,求|z|的最大值和最小值.解|z+3-i|=,表示以-3+i对应的点P为圆心,以为半径的圆.如图所示,则|OP|=|-3+i|=2.显然|z|max=|OA|=|OP|+=3,|z|min=|OB|=|OP|-.20(10分)已知复数z1=cos +isin ,z2=cos -isin ,且z1+i,求复数z1,z2的值.分析解答本题的关键是利用复数相等的充要条件,将复数问题实数化,即从z1+i出发,建立关于,的正弦、余弦的方程组,再结合三角函数的知识求解.解由z1+i,得cos +isin +i,cos +isin +cos +isin =i,即(cos +cos )+i(sin +sin )=i.cos2+sin2=1,整理,得cos =1-sin ,代入sin 2+cos 2=1,可解得sin =0或sin =.当sin =0时,cos =1,cos =-,sin =.当sin =时,cos =-,cos =1,sin =0.z1=-i,z2=1或z1=1,z2=-i.
