1、课时跟踪检测 (五十八)坐标系1求双曲线C：x21经过：变换后所得曲线C的焦点坐标解：设曲线C上任意一点P(x，y)，由上述可知，将代入x21得1，化简得1，即1为曲线C的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(5,0)，F2(5,0)为所求2(1)把化圆的直角坐标方程x2y2r2(r0)化为极坐标方程；(2)把曲线的极坐标方程8sin 化为直角坐标方程解：(1)将 xcos ，ysin 代入x2y2r2，得2cos22sin2r2，2(cos2sin2)r2，r所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为r(02)(2)法一：把，sin 代入8sin ，得8，即x2y28y0，即x2(y4)21
2、6法二：方程两边同时乘以，得28sin ，即x2y28y03在极坐标系中，曲线C的方程为2，点R(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标解：(1)xcos ，ysin ，曲线C的直角坐标方程为y21，点R的直角坐标为R(2,2)(2)设P(cos ，sin )，根据题意可得|PQ|2cos ，|QR|2sin ，|PQ|QR|42sin(60)，当30时，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQR
3、S周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为4在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1得1从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为(R)5(2017成都模拟)在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x1)2y21(0y1)以O为极点，x
4、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是(sin cos )5，射线OM：与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解：(1)由xcos ，ysin ，所以半圆C的极坐标方程是2cos ，(2)设(1，1)为点P的极坐标，则有解得设(2，2)为点Q的极坐标，则有解得由于12，所以|PQ|12|4，所以线段PQ的长为46在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：(1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离解：(1)如图，由正弦定理得即sinsin，所求直线的极坐标方程为sin(2)作OH
5、l，垂足为H，在OHA中，OA1，OHA，OAH，则OHOAsin，即极点到该直线的距离等于7(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20(2)曲线C1
6、，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a18(2017广州五校联考)在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：(R)所截得的弦长解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(，)，如图，在RtOAM中，OMA，AOM2，|OA|4因为cosAOM，所以|OM|OA|cosAOM，即4cos4cos，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，故4cos为所求(2)设l：(R)交圆C于点P，在RtOAP中，OPA，易得AOP，所以|OP|OA|cosAOP2法二：(1)圆C是将圆4cos 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是4cos(2)将代入圆C的极坐标方程4cos，得2，所以圆C被直线l：(R)所截得的弦长为2
