1、第5讲空间向量及其运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p
2、才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案A2在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直 B平行C异面 D相交但不垂直解析由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又与没有公共点ABCD.答案B3(2015济南月考)O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点()A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D无法判断解析因为，且1.所以P，A，B，C四点共面答案B4已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为()A2 B C. D2解析由题意
3、知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.答案D5已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 B.a2 C.a2 D.a2解析如图，设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.答案C二、填空题6已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三个向量共面，则实数等于_解析a，b，c共面，且显然a，b不共线，cxayb，由解得代入得.答案7在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_
4、(用a，b，c表示)解析()()abc.答案abc8A，B，C，D是空间不共面四点，且0，0，0，则BCD的形状是_三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)解析因为()()220，所以CBD为锐角同理BCD，BDC均为锐角答案锐角三、解答题9已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值解(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(
5、1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.10.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C平面BC1D.证明(1)，可以证明：()，即A1，G，C三点共线(2)设a，b，c，则|a|b|c|a，且abbcca0，abc，ca，(abc)(ca)c2a20，因此，即CA1BC1，同理CA1BD，又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C平面BC1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)11若向量c垂直于不共线的向量a和b，dab(，R，且0)，则()AcdBcdCc不
6、平行于d，c也不垂直于dD以上三种情况均有可能解析由题意得，c垂直于由a，b确定的平面dab，d与a，b共面cd.答案B12已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A(4,0,3) B(3,1,3)C(1,2,3) D(2,1,3)解析设p在基底ab，ab，c下的坐标为x，y，z.则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因为p在a，b，c下的坐标为(4,2,3)p4a2b3c，由得即p在ab，ab，c下的坐标为(3,1,3)答案B13已知2ab(0，5,10)，c
7、(1，2，2)，ac4，|b|12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为_解析由题意得，(2ab)c0102010.即2acbc10，又ac4，bc18，cosb，c，b，c120，两直线的夹角为60.答案6014. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，(a)a2ac，(2)(ca)(bc)(bcabc2ac)；(3)abacb abc，|2a2b2c2abbcca，则|.(4)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
