1、第3讲 机械能守恒定律 功能关系 考点1 重力做功与重力势能 1.重力做功的特点（1）重力做功与_无关，只与始末位置的_有关.（2）重力做功不引起物体_的变化.路径 高度差 机械能 2.重力势能与弹性势能 内容 重力势能 弹性势能 物体由于_而具有的能 概念 大小 Ep=_ 物体由于发生_而具有的能 矢标量 标量 标量 相对性 大小与所选取的参考平面有关 一般选弹簧形变为零的状态为弹性势能零点 被举高 弹性形变 mgh 与形变量及劲度系数有关 1.重力做功与重力势能变化的关系（1）定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大.（2）定量关系：重力对物体做的功等于
2、物体重力势能的减少量，即WG=-（Ep2-Ep1）=Ep1-Ep2.（3）重力势能的变化是绝对的，与参考面的选取无关.2.弹力做功与弹性势能变化的关系（1）弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W=-Ep.（2）对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大.将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处,在这个过程中,下列说法中正确的是（取g=10 m/s2）（）A.重力做正功,重力势能增加1.0104 J B.重力做正功,重力势能减少1.0104 J C.重力做负功,重力势能增加1.0104 J D.重力做负功,重力势能减少1.0104 J【
3、解析】选C.由于重力的方向和物体上升的位移方向相反,故重力做负功,物体的重力势能增加.由W=-mgh=-1.0104 J得，重力势能增加1.0104 J,故C正确.考点2 机械能守恒定律 1.内容 在只有重力、弹力做功的情形下，物体的_和_发生 相互转化，但机械能的总量保持_.动能 势能 不变 2.机械能守恒定律表达式 观点 表 达 式 Ek1+Ep1=_ 守恒观点 转化观点 Ek=_ 转移观点 EA=_ Ek2+Ep2-Ep-EB 1.对机械能守恒条件的理解 只有重力及系统内的弹力做功，可以从以下三方面理解：（1）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒.（
4、2）受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功.（3）弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量.2.对机械能守恒定律三种表达式的理解（1）守恒观点.意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能.注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面.（2）转化观点.意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的重力势能.注意问题：要明确重力势能的增加量或减少量，即重力势能的变化，可以不选取零势能参考平面.（3）转移观点.意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分物体机械能的增加量等
5、于B部分物体机械能的减少量.注意问题：A部分机械能的增加量等于A末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B初状态的机械能减末状态的机械能.质量为m的小球从高H处由静止开始自由下落，以地面作为零 势能面.当小球的动能和重力势能相等时，重力的瞬时功率 为（）11A.2mg gHB.mg gHC.mg gHD.mg gH23【解析】选B.设当小球动能和重力势能相等时，小球下落 的高度为h,由机械能守恒定律得 解得:故此时重力的功 率为 B正确.21mgHmvmgHh2（），21 mvmgHh2（），Hh,vgH,2Pmg vmg gH,考点3 功能关系 1.功和能（1）功是_的量度
6、，即做了多少功就有多少_ 发生了转化.（2）做功的过程一定伴随着_，而且_ 必须通过做功来实现.能量转化 能量 能量的转化 能量的转化 2.常见的几种功能对应关系（1）合外力做功等于物体动能的改变，即W合=Ek2-Ek1=Ek.（动能定理）（2）重力做功等于物体重力势能的改变，即WG=Ep1-Ep2=-Ep.（3）弹簧弹力做功等于弹性势能的改变，即WF=Ep1-Ep2=-Ep.（4）除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功，等于物体机械能的改变，即W其他力=E2-E1=E.（功能原理）1.动能的改变量、机械能的改变量分别与对应的功相等 2.重力势能、弹性势能、电势能的改变量与对应的力做的功数值
7、相等，但符号相反 3.摩擦力做功的特点及其与能量的关系 类别 比较 静摩擦力 滑动摩擦力 能量的转化方面 不 同 点 相 同 点 正功、负功、不做功方面 只有能量的转移，而没有能量的转化 两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功 一对摩擦力的总功方面 既有能量的转移，又有能量的转化 一对静摩擦力所做功的代数总和等于零 一对滑动摩擦力所做功的代数 和不为零，总功W=-Ffs相对，即摩擦时产生的热量 （2012卢湾区模拟）质量为m的滑块，沿高为h，长为L的粗糙斜面匀速下滑，在滑块从斜面顶端滑到底端的过程中，下列说法中正确的是（）A.滑块的机械能减少了mgh B.重力对滑块所做的功等于mgh
8、C.滑块势能的变化量等于mgh D.滑块动能的变化量等于mgh【解析】选A、B.滑块匀速下滑时，滑动摩擦力 故下滑过程中滑动摩擦力做的功为-FfL=-mgh,机械能减少了 mgh，A正确；重力做功为mgh，滑块重力势能的变化量为-mgh，故B正确，C错误；滑块匀速下滑，动能不变，D错误.fhFmgsinmg,L 机械能守恒的判断【例证1】如图所示，质量均为m的A、B两个小球，用长为2L 的轻质杆相连接，在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针方向自由 转动（转轴在杆的中点），不计一切摩擦，某时刻A、B球恰 好在如图所示的位置，A、B球的线速度大小均为v,下列说法 正确的是（）A.运动过程中B球机械能守恒
9、 B.运动过程中B球速度大小不变 C.B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量保持不变 D.B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量不断变化 【解题指南】解答本题时应注意以下两点：（1）A、B两球的速度大小始终相等.（2）B球单位时间内高度变化的关系.【自主解答】选B、D.以A、B球组成的系统为研究对象，两球在 运动过程中，只有重力做功（轻杆对两球做功的和为零），两 球的机械能守恒，以过O点的水平面为重力势能的参考平面时，系统的总机械能为 假设A球下降h,则B球上升 h，此时两球的速度大小是v，由机械能守恒定律知 221E2mvmv.2 得到v=v,故运动过程中B球速度 大小不
10、变.当单独分析B球时，B球在运动到最高点之前，动能 保持不变，重力势能在不断增加.由几何知识可得单位时间内 B球上升的高度不同，因此机械能的变化量是不断改变的.B、D 正确.221mvmv2mghmgh,2 【总结提升】机械能是否守恒的判断方法（1）利用机械能的定义判断（直接判断）:机械能包括动能、重力势能和弹性势能，判断机械能是否守恒可以看物体或系统机械能的总和是否变化.（2）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒.（3）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒.（4）对多
11、个物体组成的系统，除考虑是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因有摩擦热产生，系统机械能将有损失.物体机械能守恒定律的应用【例证2】（2012菏泽模拟）（15分）如图所示，斜面轨道AB与 水平面之间的夹角=53，BD为 半径R=4 m 的圆弧形轨道，且B点 与D点在同一水平面上，在B点，斜 面轨道AB与圆弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处 处光滑，在A点处有一质量m=1 kg的小球由静止滑下，经过B、C 两点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点时的速度大小 vS=8 m/s，已知A点距地面的高度H=10 m，B点距地面的高度 h=5 m，设以MDN为分界线
12、，其左边为一阻力场区域，右边为 真空区域，g取10 m/s2，cos53=0.6，求：（1）小球经过B点时的速度为多大？（2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力为多大？（3）小球从D点抛出后，受到的阻力Ff与其瞬时速度方向始终 相反，求小球从D点到S点的过程中阻力Ff所做的功.【解题指南】解答本题时应注意以下三个方面：（1）轨道ABCD光滑，只有重力对小球做功.（2）MN左侧为阻力场区域，有阻力对小球做负功.（3）B、D等高，两处小球速度大小相等.【规范解答】（1）设小球经过B点时的速度大小为vB,由机械 能守恒得：（3分）解得vB=10 m/s.（1分）2B1mg(Hhmv2）（2）设
13、小球经过C点时的速度为vC,对轨道的压力为FN，则轨 道对小球的支持力FN=FN，根据牛顿第二定律可得 （2分）由机械能守恒得：（3分）由以上两式及FN=FN解得FN=43 N.（2分）2CNvFmgm R22BC11mgR1 cos53mvmv22（）（3）设小球受到的阻力为Ff,到达S点的速度为vS,在此过程 中阻力所做的功为W，由机械能守恒知vD=vB,由动能定理可得 （3分）解得W=-68 J.（1分）答案：（1）10 m/s （2）43 N （3）-68 J 22SD11mghWmvmv.22【总结提升】机械能守恒问题的规范解答 1.一般步骤 （1）选取研究对象 （2）分析受力情况和
14、各力做功情况，确定是否符合机械能守 恒条件.单个物体.多个物体组成的系统.含弹簧的系统.（3）确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况.（4）选择合适的表达式列出方程，进行求解.（5）对计算结果进行必要的讨论和说明.2.应注意的问题（1）列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不同.（2）应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同.功能关系的应用技巧【例证3】如图所示，质量为m的物体（可视 为质点）以某一速度从A点冲上倾角为30 的固定斜面，其运动的加速度为 此物 体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体（）A.
15、重力势能增加了 B.重力势能增加了mgh C.动能损失了mgh D.机械能损失了 3 g4，3 mgh41 mgh2【解题指南】解答本题应从以下两点重点把握：（1）由物体的加速度和牛顿第二定律确定摩擦阻力的大小和 方向.（2）能量的变化与对应力做功的关系.【自主解答】选B、D.设物体受到的摩擦阻力为Ff，由牛顿运动定律得 重力势能的变化由重力做功决定，故Ep=mgh.ff31Fmgsin30mamg,Fmg.44 解得动能的变化由合外力做功决定：机械能的变化由重力或系统内弹力以外的其他力做功决定，故 故B、D正确，A、C错误.f3h3Fmg sin30sma smgmgh.4sin302（）f
16、1h1EF smgmgh,4sin302机械【总结提升】功能关系的选用技巧（1）在应用功能关系解决具体问题的过程中,若只涉及动能的变化用动能定理分析.（2）只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析.（3）只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析.（4）只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析.考查内容与弹簧有关的机械能守恒问题【例证】如图所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面 上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于 静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮，一端连物体A，另 一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态
17、，A上方的一段 绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态 释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成另一 个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g.【规范解答】开始时,A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有 kx1=m1g 挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离开地面时 弹簧伸长量为x2,则kx2=m2g B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到最低点.由机 械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为 E=m3g（x1+x2）-m1g（x1+x2）C换成D后，当B刚离地
18、时的弹性势能的增量与前一次相同，由 能量关系得 由式得 由式得 答案：22311311211211mm)vm vmm)gxxm gxxE22（）（）2131121 2mmvm gxx2（）（）2112132m mmgv2mmk（）（）2112132m mmg2mmk（）（）传送带模型中的动力学问题和功能关系问题 传送带是应用较广泛的一种传动装置，与生产、生活实际紧密相连，所涉及的问题能很好地培养提升学生分析综合能力.下面从两个角度对传送带模型进行分析.1.传送带上的动力学问题 解决此类问题的思路：（1）明确研究对象.（2）对研究对象进行受力分析、过程分析和状态分析，建立清晰的物理模型.（3）利
19、用牛顿运动定律和运动学规律列方程求解.【典题例证】如图所示，传送带与地面的倾角=37，从A 端到B端的长度为16 m，传送带以v=10 m/s的速度沿逆时针方 向转动.在传送带上端A处无初速度地放置一个质量为0.5 kg 的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为=0.5，求物体从A 端运动到B端所需的时间是多少？（sin37=0.6,cos37=0.8，g=10 m/s2）【命题探究】本题主要考查传送带模型中的动力学问题，重在 对传送带上的物体进行受力分析和过程分析.【深度剖析】当物体放在A端到两者速度相同的过程中设物体 的加速度为a1，由牛顿第二定律得：mgsin+mgcos=ma1 设物体速度
20、从零增大到与传送带相同时所用时间为t1，运动位 移为s，则 v=a1t1 21 11sa t2但由于mgsinmgcos，因而此时物体不是匀速运动而是 继续做加速运动.设这个过程物体的加速度为a2，则由牛顿第二 定律得 mgsin-mgcos=ma2 其运动的位移为：物体下滑的总时间为t=t1+t2 联立以上各式解得：t=2 s 222 21Lsvta t2 2.传送带上的功能关系问题【典题例证】如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角=30，皮带在电动机的带动下，始终保持v0=2 m/s的速率运行，现把一质量为m=10 kg的工件（可看做质点）轻轻放在皮带的底端，经过时间1.9 s，工件被传送到
21、h=1.5 m 的高处，取g=10 m/s2，求：（1）工件与传送带间的动摩擦因数；（2）电动机由于传送工件多消耗的电能.【命题探究】本题综合考查了动力学及能的转化和守恒定律的应用.第一问重点在对运动过程分析的基础上的公式应用，第二问是考查能量守恒问题.【深度剖析】（1）由图可知，皮带长 工件速度达 v0前，做匀加速运动的位移 匀速运动的位移为s-s1=v0（t-t1）解得加速运动的时间t1=0.8 s，加速运动的位移s1=0.8 m 所以加速度 由牛顿第二定律有：mgcos-mgsin=ma 解得 hs3 m.sin0111vsv tt2201va2.5 m/st3.2（2）从能量守恒的观点
22、，显然电动机多消耗的电能用于增加工 件的动能、势能以及克服传送带与工件之间发生相对位移时摩 擦力做功发出的热量.在时间t1内，皮带运动的位移s皮=v0t1=1.6 m 在时间t1内，工件相对皮带的位移s相=s皮-s1=0.8 m 在时间t1内，摩擦发热Q=mgcoss相=60 J 工件获得的动能 工件增加的势能Ep=mgh=150 J 电动机多消耗的电能W=Q+Ek+Ep=230 J.2k01Emv20 J21.如图所示，在水平桌面上的A点有一个质量为m的物体，以 初速度v0被抛出，不计空气阻力，当它到达B点时，其动能 为（）22001220211A.mvmgHB.mvmgh221C.mgHm
23、ghD.mvmgh2【解析】选B.由机械能守恒，到达B点的 动能 B正确.221011mghmvmv,22221011mvmghmv,222.物体在竖直方向上分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动.在这三种情况下物体机械能的变化情况是（）A.匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小 B.匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小 C.匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能可能增加，可能减少，也可能不变 D.三种情况中，物体的机械能均增加【解析】选C.无论物体向上加速还是匀速运动，除重力外，其他外力一定对物体做正功，物体机械能都增加，物体向上减速运动时，除重力
24、外，物体受到的其他外力不确定，故无法确定其机械能的变化，C正确.3.（2012玉林模拟）如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两 端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地 面；b球质量为4m，用手托住，高度为h，此 时轻绳刚好拉紧.从静止开始释放b后，a能离 地面的最大高度为（）A.h B.1.5h C.1.6h D.2.2h【解析】选C.a、b两球及柔软轻绳组成的系统机械能守恒，取 水平地面为零重力势能位置，则有 b落地 后，对a球应用机械能守恒定律得，故 h=1.6h,选项C正确，其他选项均错.214mghmgh5mv,221mghmvmgh,24.（2012徐州模拟）
25、如图所示,将一质量为m=0.1 kg的小球 自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出,小球飞离平台后由A 点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC,并沿轨道恰好通过最高点C,圆轨道ABC的形状为半径R=2.5 m的圆截去了左上角127的圆 弧,CB为其竖直直径（sin53=0.8,cos53=0.6,重力加速度g 取10 m/s2）.求:（1）小球经过C点的速度大小;（2）小球运动到轨道最低点B时小球对轨道的压力大小;（3）平台末端O点到A点的竖直高度H.【解析】（1）小球沿轨道恰好通过最高点C,仅由重力提供向 心力,即 解得vC=5 m/s.（2）从B点到C点,取B点为参考面,由机械能守恒定律得 在B点对小球受力分析,由牛顿第二定律得 解得FN=6.0 N.据牛顿第三定律,小球对轨道的压力大小也为6.0 N.2Cvmgm,R22BC11mvmvmg 2R222BNvFmgm,R（3）从A点到B点,取B点为参考面,由机械能守恒定律得 解得 在A点进行速度的分解有vy=vAsin53 所以 答案：（1）5 m/s （2）6.0 N （3）3.36 m 22AB11mvmgR1 cos53mv22（）Av105 m/s2yvH3.36 m2g
