1、宣城市2020-2021学年度第一学期期末调研测试高三数学试题（理科）考生注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3.考生作答时，请将答案答在答题卷上。第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.考试结束时，务必将答题卡交回.一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，则（）A. B. C. D.2.设复数满足，是虚数单位，则的虚部为（）A. B. C. D.3.已知，则，的大小关系为（）A. B. C. D.4.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.5.在二项式的展开式中，有理项共有（）A.3项 B.4项 C.5项 D.6项6.德国著名天文学家开普勒曾说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么黄金分割就是钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰长度之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.
3、例如，五角星是由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金三角形中，.由这些信息，可得A. B. C. D.7.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.8.在等比数列中，则（）A. B. C. D.9.已知函数，则（）A.的最大值为1 B.的图象关于直线对称C. 的最小正周期为 D.在区间上只有1个零点10.如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆，在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.1l.在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积是（）A. B. C. D.12.已知为坐标原点设，分别是双曲线的左右焦点，为
4、双曲线左支上的任意一点，过点作的角平分线的垂线，垂足为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若曲线的一条切线与直线互相垂直，则该切线的方程为 .14.已知首项为1的数列的前项和为，若，则数列的前项和 .15.设，若的概率为0.45，则的概率为 .16.椭圆的左焦点为，分别为其三个顶点.直线与交于点，若椭圆的离心率，则 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分。17.已知在中，角，的对
5、边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.18.某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色单车的投放比例为.监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次。在抽样结束时，已取到的黄色单车数量
6、用表示，求的分布列及数学期望。19.如图，在五面体中，四边形为矩形，为等边三角形，且平面平面，.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.20.已知抛物线的焦点为，圆，点为抛物线上一动点.当时，的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若，过点作圆的两条切线分别交轴于，两点，求面积的最小值.21.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间内有零点，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，已知直线过点且倾斜角为60，曲线的参数方程为（为参数）.（1）以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐
7、标系，求曲线的极坐标方程；（2）求直线被曲线截得的线段长度.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记集合，若，求实数的取值范围.宣城市20202021学年度第一学期期末调研测试高三数学（理科）参考答案一、选择题题号123456789101112答案CCBAACADBDDC二、填空题17.（1），.又，.（2）由（1）知，.又，.又，当且仅当时等号成立，.18.（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为2，用表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”，则服从二项分布，即，所以抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率为；（2）随机变量的可能取值为：0、1、2、3、4。，.所以的分布列如下表所示
8、：0123419.（1）证明：取中点，于是，平面平面，且平面平面，所以平面，则，又，所以平面，平面平面.（2）解：取中点，得平面，如图：以为坐标原点，、为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.设长度为1，得，因为，所以平面，又平面平面，则；所以设，所以，点那么，由于，所以，解得.于是，平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，记二面角大小为，所以，又因为二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为.20.（1）由题意抛物线的焦点为，圆的圆心为，因为，由抛物线的定义可得，解得，又，所以，又，即，整理得，所以或解得或，又，所以，所以抛物线方程为.（2）设，且，不妨设点在轴右侧，故直线方程为，即由题设知
9、，圆心到直线距离为1，即，化简上式得，同理可得，由上可知，为的两根，则，且，所以，所以，设，所以面积的最小值为2.21.（1）当时，的定义域为由得，由得且所以在，上单调递减，在上单调递增所的极小值为，无极大值（2）当时，令，则在区间上的零点即在区间上的零点令，则当时，单调递增，即单调递增又，所以当时，在上单调递减，又，在区间上没有零点当时，故在上单调递增又，所以存在，使得即当时，单调递减当时，单调递增又因为，所以在区间上存在零点当，时，令，则因为在上，是减函数，所以所以，所以所以在区间上没有零点综上：要使函数在区间内有零点，则的取值范围是22.（1）因为曲线的参数方程为（为参数）所以其普通方程为，将，代入曲线的普通方程，可得曲线的极坐标方程为.（2）因为直线过点且倾斜角为60，则直线的参数方程为（为参数）将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，可得.设为方程的两个根，则，.所以直线被曲线截得的线段长度为.23.（1）依题意；当时，则，故；当时，则，无解；当时，则，故；故不等式的解集为；（2）依题意，而则可知，即的值域为，因为，故，则，故实数的取值范围为.
