1、第12章 第10节一、选择题1两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的均值EX是()A.B.C.D.答案A解析X12P所以均值EX12.2某一离散型随机变量的概率分布列如下表，且E1.5，则ab的值()0123P0.1ab0.1A.0.1 B0 C0.1 D0.2答案B解析，故ab0.3(2010新课标理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200 C300 D400答案B解析本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的数学期望等记“不发芽的种子数为”，则B(1 00
2、0,0.1)，所以E1 0000.1100，而X2，故EXE(2)2E200，故选B.4节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元节后卖不出的鲜花以每束1.6元价格处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是()200300400500P0.200.350.300.15A.706元 B690元 C754元 D720元答案A解析节日期间预售的量：E2000.23000.354000.35000.154010512075340(束)则期望的利润：51.6(500)5002.53.4450.E3.4E4503.434045
3、0706(元)期望利润为706元5若是离散型随机变量，P(x1)，P(x2)，且x1x2，又已知E，D，则x1x2的值为()A. B. C3 D.答案C解析由期望和方差的计算公式得x1x2，(x1)2(x2)2，即由得x242x1，代入得6(x1)2.解得x1，x2或x11，x22.又x1x2x1x23.6一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是()A. B. C. D.答案C解析两次向上数之积为随机变量X：0、1、2、4.P(X0)1，P(X1)，P(X2)C21，P(X4).EX0124.7随机变量
4、X的分布列如下X101Pabc其中a，b，c成等差数列，若EX则DX的值是()A. B. C. D.答案B解析由已知解得DX(1)2(0)2(1)2.8已知随机变量X的分布列为X123P0.5xy若EX，则DX等于()A. B. C. D.答案B解析由分布列的性质得xy0.5，又EX，所以2x3y，解得x，y，所以DX222.二、填空题9篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次(每次罚球结果互不影响)得分的均值是_答案1.4解析设得分为变量X，则其概率分布列为X012P0.090.420.49则EX00.0910.4220.491.4
5、.10(2009上海理)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E为_(结果用最简分数表示)答案解析本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力由题意，的可能取值为0,1,2，则P(0)，P(1)，P(2).的分布列为012P的数学期望E012.11抛掷一枚硬币，正面向上记1分，反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分X的期望EX_.答案6解析抛掷4次可能出现的结果是四反、一正三反、二正二反、三正一反、四正 ，其中对应的分数分别为8、7、6、5、4所以X的取值为4、5
6、、6、7、8.设对应的概率的值分别为P1、P2、P3、P4、P5，则X45678PP1P2P3P4P5P1C444，P2C433，P3C4222，P4C413，P5C404，EX456786.三、解答题12(2010福建理)设S是不等式x2x60的解集，整数m，nS.(1)记“使得mn0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设m2，求的分布列及其数学期望E.分析解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换解析(1)由x2x60得2x3，即Sx|2x3由于m，nZ，m，nS且mn0，所
7、以A包含的基本事件为：(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0)(2)由于m的所有不同取值为2，1,0,1,2,3，所以m2的所有不同取值为0,1,4,9.且有P(0)，P(1)，P(4)，P(9).故的分布列为：0149P所以E0149.13(2009浙江理)在1,2,3，9这9个自然数中，任取3个数(1)求这3个数中恰有1个数是偶数的概率；(2)记为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2)求随机变量的分布列及其数学期望E.解析本小题主要考查排列组合、随机事件的概率和随机变量分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括
8、能力(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，则P(A).(2)随机变量的取值为0,1,2，的分布列是012P所以的数学期望E012.14(2010浙江理)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量为获得k(k1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望E；(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求P(2)分析本
9、题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列，数学期望、二项分布等概念，考查抽象概括、运算求解能力和应用意识；一般思路：分析本题属于哪种事件解析(1)由题意得的分布列为50%70%90%P则E50%70%90%.(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为.由题意得B(3，)，则P(2)C32()2(1).点评关键该事件属于哪种基本事件，根据事件的求概率公式进一步得出，在求分布列时一定要注意概率和为1，求期望、方差时可根据公式直接求出15某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个
10、路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望解析考查相互独立事件的概率乘法及二项分布(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A).(2)由题意可得，可能取的值为0,2,4,6,8(单位：min)事件“2k”等价于事件“该学生在上学路上遇到k次红灯”(k0,1,2,3,4)，所以P(2k)C4kk4k(k0,1,2,3,4)即的分布列是02468P所以的期望是E02468.教师备课平台一、解排列、组合应用题的常用方法排列、组
11、合应用题是本板块在高考中的一个热点，题目内容涉及排队、组数、集合、几何、涂色、分配等各种实际问题，常用的方法有特殊优先法、间接法、捆绑法、插空法、隔板法等1特殊优先法解带有附加条件的排列应用题，常存在特殊元素或特殊位置，对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先按排，再去满足其他元素或其他位置，针对实际问题有时“元素优先”，有时“位置优先”例1用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成多少个没有重复数字的六位奇数？解析方法一：首先把“1”排在个数上，而“0”不能放在十万位上，这时有4A44种排法，然后分别把“3”、“5”排在个位上，情况与“1”类似，都有4A44种排法，于是，共有34A44288(
12、个)六位奇数方法二：先排个位数，从1,3,5中任选一个，有A31种排法，再排十万位，因0不能排，故有A41种排法，最后排中间四位数，有A44种排法，于是有A31A41A44288(个)六位奇数2间接法对于某些排列问题的正面情况较复杂，而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数例2五个人站一排，甲不站排头，乙不站排尾，总共有多少种不同的站法？解析五个人的全排列有A55种，其中甲在排头的有A44种，乙在排尾的有A44种，但在分别计算时重复了甲在排头且乙在排尾的排列共有A33种，因此符合条件的排列有A552A44A3378种3捆绑法与插空法对于某些元素要求相邻排列的问题
13、，可先将相邻元素捆绑在一起，看作一个“大元素”，再与其他元素进行排列，注意“大元素”内部也要排列，对于某些元素需要间隔的排列问题，可先排列无限制条件的元素，再在间隔或两端插入不相邻的元素，注意分清楚“谁插谁”例3八个人坐成一排，求满足下列条件的排列各有多少种？(1)甲、乙二人必须坐在一起；(2)甲、乙、丙三人不能相邻解析(1)把甲、乙看作一个整体，与其余6人排列，相当于7个人全排列，有A77种排法，再考虑甲、乙二人的A22种排法，共有A77A2210080种不同的坐法(2)先将除甲、乙、丙三人之外的五人排好，有A55种排法，再在5个人的4个空里和两端共6个位置排甲、乙、丙三人，有A63种排法，
14、所以共有A55A6314400种排法4隔板法对于较难的排列组合问题，可运用对应的思想方法，构造一个数学模型，使得这个数学模型与原问题存在着某种对应关系，通过解答数学模型来得到原问题的解例4某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级的10个班的同学组成，每个班级至少1人，名额分配方案共有多少种？解析构造一个如图的隔板模型，取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，将18枚棋子分隔成10个区间，第i(1i10)个区间的棋子数对应第i个班级学生的名额，因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等，因隔板插入方法数为C179，故名额分配方案有C17924310种
15、二、分类整合思想与转化思想对于复杂的问题，可以确定一个合理的分类标准，将其简单化，注意“起点”的寻求和“层次”的划分，做到起点讨论合理自然，层次划分明确清晰、不重不漏，转化的思想就是将待解决的问题，通过某种转化(或简单化或熟悉化或具体化或正难则反)，归结为一类已经解决或容易解决的问题例5如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,363,374等)，那么所有凸数的个数为()A240B204C729 D920解析选A.由题分析可知：a10，a22，下面只需对a22，a33，a29分别进行讨论求出其值，然后求和当a22时，a1只能取1，a3从0,
16、1中任取一个有C21种，共有1C21种；当a23时，a1从1,2中任取一个有C21种，a3从0,1,2三个数字中任取一个有C31种，共有C21C31种；当a24时，a1从1,2,3中任取一个有C31种，a3从0,1,2,3四个数字中任取一个有C41种，共有C31C41种；当a29时，a1从1,2,3，8中任取一个有C81种，a3从0,1,2，8九个数中任取一个有C91种，共有C81C91种综上可得组成的所有有凸数个数为1C21C21C31C31C41C41C51C51C61C61C71C71C81C81C91240.例6一排6把椅子上坐3人，每2人之间至少有一把空椅子，求共有多少种不同的坐法？
17、解析方法一：将问题转化为3个人坐5把椅子，然后插入一把空椅子问题3个人坐5把椅子，每2人之间有一把空椅子，有A33种不同的坐法，然后将余下的那把椅子插入3个人的4个空隙中，有4种插法所以共有4A3324(种)不同的坐法方法二：将问题转化为3名女学生不相邻插入到站成一排横队的3名男学生之间(包括首尾两侧)，有多少种站法？因为6把椅子坐3人后，还空3把椅子，把这空的3把椅子看成3名男学生站法固定，而这3名男学生之间最多站1名女学生，于是，这就是4个间隔插入3名女学生，且女学生又有前后顺序，故有A4324(种)站法三、求古概型的概率问题一、求古概型的概率问题(文)古典概型是一种最基本的概率概型，也是
18、学习其他概率的基础，是高考考查的重要内容之一，而且在高考中选择题、填空题和解答题三种题型都有所涉及用古典概率计算概率时，一定要验证所构造的基本事件是否是等可能的，同时要弄清事件A所包含基本事件的个数例7某小组中男生、女生若干人，如果从中选一人参加某项测试，女生被选中的概率是，如果从中选两人参加测试，两人都是女生的概率为(每个人被选中是等可能的)(1)求该小组男生、女生各多少人？(2)从该小组选出3人，求男、女生都有的概率解析(1)设该小组男、女生共n人，其中女生有x人依据题意得，解得，所以该小组中男生有4人，女生有6人(2)男生和女生都有，即男生至少1人，女生至少1人，而从该小组选出3人，全是
19、男生的选法有C43，全是女生的选法有C63，所以男、女生都有的概率是P1.(文)例1(2011东营模拟)甲、乙等四人参加4100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率解析设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)，P(B)，计算P(AB)记x为甲跑的棒数，y为乙跑的棒数，记为(x，y)，则共有12种可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能(1,4)，故P(AB)，所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为P(AB)P(A)P(B)P(A
20、B).(文)例2现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率分析(1)列举出所有基本事件和“A1被选中”包含的基本事件，然后代入公式计算(2)先求B1和C1全被选中的概率解析(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件有(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2
21、)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)共18个基本事件由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M包含以下事件：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，事件M由6个基本事件组成，因而P(M).(2)用“N”表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“
22、B1、C1全被选中”这一事件；由于包含的基本事件有(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A1，B1，C1)，事件由3个基本事件组成，所以P()，由对立事件的概率公式得P(N)1P()1.四、求有关几何概型的概率问题二、求有关几何概型的概率问题(文)几何概型同古典概型一样，也是最具有代表性的概率模型之一，在高考中占有重要的地位用几何概型计算事件的概率时，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量(长度，面积或体积)来求随机事件的概率例8(文)例3若kR且k1,2，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2y2kx2yk0相切的概率是多少？解析由题意，点A应该在圆的外部
23、，所以就有，即又因为k1,2，所以1k0，因为k的取值区间的长度为3，而使得过A可以作两条直线与圆相切的k的取值区间的长度为1.由几何概型的计算公式得所求概率P.(文)例4街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若压在塑料板的顶点上，可获一元钱，试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解析小圆板中心用O表示，考虑O落在ABCD的哪个范围时，能使小圆板与塑料板ABCD的边相交，及O落在哪个范围时能使小圆
24、板压在塑料板ABCD的顶点上(1)如图所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料ABCD的边相交是在小圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1时，所以O落在图(1)中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交因此，区域是边长为9cm的正方形，图中阴影部分表示事件A：“小圆板压在塑料板的边上”于是S正9981，S阴997732.故所求概率P(A).(2)小圆板与正方形的顶点相交是在中心P到正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1时，如图(2)所示阴影部分，图中阴影部分表示事件B：“小圆板压在塑料板顶点上”于是S正9981，S阴12.故所求的概率P(B).五、事件概
25、率的求法熟练地求出事件的概率，是进一步求分布列、期望、方差的基础本章中条件概率、独立重复试验恰好发生k次的概率是高考的热点，求解过程中，要注意先判断概率类型，以便准确应用概率加法公式、乘法公式和除法公式例9甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率解析(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C8228，这2个产品都是次品的事件数为C323.这2个产品都是次品的概率为.(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1
26、为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥P(B1)，P(B2)，P(B3)，P(A|B1)，P(A|B2)，P(A|B3)，P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3).(文)例5在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为0.9、0.8、0.85.则在一天内(1)三台设备都需要维护的概率是多少？(2)恰有一台设备需要维护的概率是多少？(3)至少有一台设备需要维护的概率是多少？解析设甲
27、、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为A、B、C，则P(A)0.9，P(B)0.8，P(C)0.85.(1)三台设备都需要维护的概率P1P()P()P()P()(10.9)(10.8)(10.85)0.003.(2)恰有一台设备需要维护的概率P2P(BC)P(A)P(AB)(10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329.(3)三台设备都不需要维护的概率是P3P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.90.80.850.612.至少有一台设备需要维护的概率P41P30.388.六、求离散型随机变量的分布列及均值利用求分布列来考查事件概率的求法、随机
28、变量概念的理解，从而进一步考查学生解决实际问题的能力是高考中考查本章内容最常用的方法在具体解答中，关键是明确随机变量取值的意义及正确求解相应概率，同时对特殊的分布要注意辨认例10盒中装有8个乒乓球，其中6个没有用过的，2个是用过的(1)从盒中任取2个球使用，求恰好取出1个用过的球的概率；(2)若从盒中任取2个球使用，用完后装回盒中，此时盒中用过的球的个数X是一个随机变量，求随机变量X的分布列及EX.解析(1)设恰好取出一个用过的球的概率为P，则P.(2)随机变量X的可能取值为2,3,4.X2表示取出了两个用过的球P(X2).X3表示取出了一个用过的球，一个没用过的球，P(X3).X4表示取出了两个没用过的球P(X4).X的分布列为X234PEX234.
