1、第二章平面向量24平面向量的数量积24.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A组学业达标1设向量a(1,0),b,则下列结论中正确的是()A|a|b|BabC(ab)b Dab解析:|a|1,|b|,|a|b|,故A错误;ab(1,0),故B错误;ab,(ab)b0,(ab)b,故C正确;100,a与b不平行,故D错误答案:C2若向量(3,1),n(2,1),且n7,则n()A2 B2C2或2 D0解析:,n()n,即nnn.nnn752.答案:B3设x,yR,向量a(x,1),b(1,y),c(2,4),且ac,bc,则|ab|()A. B.C2 D10解析:由ac,得2x40,则x2.由b
2、c,得42y,则y2,故|ab|.答案:B4若向量a(1,2),b(1,1),则2ab与ab的夹角等于()A B.C. D.解析:a(1,2),b(1,1),2ab(3,3),ab(0,3),则cos2ab,ab,2ab,ab.答案:C5若a(2,3),b(4,7),则a在b方向上的投影为()A. B.C. D.解析:设a与b的夹角为,则cos ,a在b方向上的投影为|a|cos .答案:A6已知向量a(1,2),b(2,4),|c|.若(ab)c,则a与c的夹角的大小为_解析:设a与c的夹角为,由ab(1,2)a,|a|,cos ,120.答案:1207已知向量a(1,),向量a,c的夹角是
3、,ac2,则|c|等于_解析:因为|a|2,ac2,所以|a|c|cos 602,得|c|2.答案:28已知ABC中,|4,|1,SABC,则的值为_解析:因为SABC41sin A,所以sin A,得A或A,14cos A2.答案:29已知平面向量a(1,x),b(2x3,x)(xR)(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|ab|.解析:(1)由ab得2x3x20,即(x3)(x1)0.解得x3或x1.(2)由ab,得2x23xx0,即2x24x0,解得x0或x2.当x0时,a(1,0),b(3,0),所以ab(2,0)此时|ab|2.当x2时,a(1,2),b(1,2),则ab(2,4)
4、故|ab|2.B组能力提升10设向量a(cos ,sin ),b(cos ,sin ),其中0,若|2ab|a2b|,则等于()A. BC. D解析:由向量a(cos ,sin ),b(cos ,sin ),且|2ab|a2b|,两边平方可得414cos()144cos(),解得cos()0,又0,所以0,则,故选A.答案:A11设A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上的三点,O为坐标原点若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为()A4a5b3 B5a4b3C4a5b14 D5a4b14解析:由图知,要使与在方向上的投影相同,只需使,即(2a,b1)(4,5)0,得4a5b
5、30,即4a5b3.答案:A12已知向量a(2,4),b(3,m)若|a|b|ab0,则实数m_解析:由向量的数量积可知ab|a|b|cos ,又|a|b|ab0,所以cos 1,所以,即向量a(2,4)与b(3,m)的方向相反设ab,即(2,4)(3,m)可得解得m6.答案:613在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动,则的取值范围是_解析:将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设E(x,0),0x1.因为M,C(1,1),所以,(1x,1),所以(1x,1)(1x)2.因为0x1,所以(1x)2,即的取值范围是.答案:14设向量a(,1),b,k,t是两个不同
6、时为零的实数若向量xa(t3)b与ykatb垂直(1)求k关于t的函数关系式;(2)求函数kf(t)的最小值解析:(1)因为a(,1),b,所以ab0,且|a|2,|b|1.又因为xy,所以xy0,即a(t3)b(katb)0,所以ka2k(t3)abtabt(t3)b20.因为|a|2,|b|1,ab0,所以4kt23t0,所以k(t23t)(2)由(1)知,k(t23t),所以函数kf(t)的最小值为.15已知向量a(3,1),|b|,ab5,cxa(1x)b.(1)若ac,求实数x的值;(2)当|c|取最小值时,求b与c的夹角的余弦值解析:(1)设b(m,n),由题意得解得或当b(1,2)时,cx(3,1)(1x)(1,2)(4x1,23x)ac,3(4x1)(23x)0,解得x.当b(2,1)时,cx(3,1)(1x)(2,1)(5x2,1)ac,3(5x2)10,解得x.(2)设b与c的夹角为,由(1)可知,当b(1,2)时,c(4x1,23x),则|c|2(4x1)2(23x)225x220x5251.当x时,|c|取最小值,则|c|1,c,bc1.cos .当b(2,1)时,c(5x2,1),则|c|2(5x2)2(1)2251,当x时,|c|取最小值,则|c|1,c(0,1),bc1,cos .