1、第二章平面向量24平面向量的数量积24.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A组学业达标1设向量a(1，0)，b，则下列结论中正确的是()A|a|b|BabC(ab)b Dab解析：|a|1，|b|，|a|b|，故A错误；ab(1，0)，故B错误；ab，(ab)b0，(ab)b，故C正确；100，a与b不平行，故D错误答案：C2若向量(3，1)，n(2，1)，且n7，则n()A2 B2C2或2 D0解析：，n()n，即nnn.nnn752.答案：B3设x，yR，向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B.C2 D10解析：由ac，得2x40，则x2.由b
2、c，得42y，则y2，故|ab|.答案：B4若向量a(1，2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A B.C. D.解析：a(1，2)，b(1，1)，2ab(3，3)，ab(0，3)，则cos2ab，ab，2ab，ab.答案：C5若a(2，3)，b(4，7)，则a在b方向上的投影为()A. B.C. D.解析：设a与b的夹角为，则cos ，a在b方向上的投影为|a|cos .答案：A6已知向量a(1，2)，b(2，4)，|c|.若(ab)c，则a与c的夹角的大小为_解析：设a与c的夹角为，由ab(1，2)a，|a|，cos ，120.答案：1207已知向量a(1，)，向量a，c的夹角是
3、，ac2，则|c|等于_解析：因为|a|2，ac2，所以|a|c|cos 602，得|c|2.答案：28已知ABC中，|4，|1，SABC，则的值为_解析：因为SABC41sin A，所以sin A，得A或A，14cos A2.答案：29已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解析：(1)由ab得2x3x20，即(x3)(x1)0.解得x3或x1.(2)由ab，得2x23xx0，即2x24x0，解得x0或x2.当x0时，a(1，0)，b(3，0)，所以ab(2，0)此时|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1，2)，则ab(2，4)
4、故|ab|2.B组能力提升10设向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，其中0，若|2ab|a2b|，则等于()A. BC. D解析：由向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|2ab|a2b|，两边平方可得414cos()144cos()，解得cos()0，又0，所以0，则，故选A.答案：A11设A(a，1)，B(2，b)，C(4，5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为()A4a5b3 B5a4b3C4a5b14 D5a4b14解析：由图知，要使与在方向上的投影相同，只需使，即(2a，b1)(4，5)0，得4a5b
5、30，即4a5b3.答案：A12已知向量a(2，4)，b(3，m)若|a|b|ab0，则实数m_解析：由向量的数量积可知ab|a|b|cos ，又|a|b|ab0，所以cos 1，所以，即向量a(2，4)与b(3，m)的方向相反设ab，即(2，4)(3，m)可得解得m6.答案：613在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是_解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0x1.因为M，C(1，1)，所以，(1x，1)，所以(1x，1)(1x)2.因为0x1，所以(1x)2，即的取值范围是.答案：14设向量a(，1)，b，k，t是两个不同
6、时为零的实数若向量xa(t3)b与ykatb垂直(1)求k关于t的函数关系式；(2)求函数kf(t)的最小值解析：(1)因为a(，1)，b，所以ab0，且|a|2，|b|1.又因为xy，所以xy0，即a(t3)b(katb)0，所以ka2k(t3)abtabt(t3)b20.因为|a|2，|b|1，ab0，所以4kt23t0，所以k(t23t)(2)由(1)知，k(t23t)，所以函数kf(t)的最小值为.15已知向量a(3，1)，|b|，ab5，cxa(1x)b.(1)若ac，求实数x的值；(2)当|c|取最小值时，求b与c的夹角的余弦值解析：(1)设b(m，n)，由题意得解得或当b(1，2)时，cx(3，1)(1x)(1，2)(4x1，23x)ac，3(4x1)(23x)0，解得x.当b(2，1)时，cx(3，1)(1x)(2，1)(5x2，1)ac，3(5x2)10，解得x.(2)设b与c的夹角为，由(1)可知，当b(1，2)时，c(4x1，23x)，则|c|2(4x1)2(23x)225x220x5251.当x时，|c|取最小值，则|c|1，c，bc1.cos .当b(2，1)时，c(5x2，1)，则|c|2(5x2)2(1)2251，当x时，|c|取最小值，则|c|1，c(0，1)，bc1，cos .