1、浙江省温州市2020届高三数学下学期4月二模考试试题（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式，球的体积公式，其中表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1
2、.已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算，再计算并集得到答案.【详解】，则，故.故选：【点睛】本题考查了集合的补集和并集，属于简单题.2.已知复数纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A. -1B. 1C. 0D. 2【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.3.设实数满足条件则的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函
3、数，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.4.做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.故选：.【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.设，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A
4、【解析】【分析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.【详解】，当时，充分性；当，取，验证成立，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.6.若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算，根据对称性得到答案.【详解】展开式的通项为：，故，根据对称性知：.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【
5、分析】计算得到，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，故，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8.如图，在中，点M是边的中点，将沿着AM翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心【答案】A【解析】【分析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.【详解】二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.故，即，两三棱锥高相等，故，故，故为中点.故选：.【点睛】本题考查
6、了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9.定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.，排除.故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.10.已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】B【解析】【分析】计算，故，解得答案.【详解】当时，即，且.故，故.故选：.【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方
7、法的综合应用.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.2020年1月，一场由新型冠状病毒引发的肺炎席卷全国，全国人民众志成城抗击疫情.下图为温州市2月2日至2月9日的疫情变化趋势图，从中可以看出2月_日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数，其当天新增治愈人数比当天新增确诊人数多_人.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】直接观察图像得到答案.【详解】根据图像知：2月8日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数，2月8日新增确诊人数为：，新增治愈人数，故多人.故答案为：；.【点睛】本题考查了对于统计图像的理解，意在考查学生的理解
8、能力和应用能力.12.已知向量满足，则_，的上的投影等于_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】计算，得到，再根据投影公式计算得到答案.【详解】，故；的上的投影等于.故答案为：；.【点睛】本题考查了向量的运算，向量投影，意在考查学生的计算能力.13.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_；最长棱的长度是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度【详解】由三视图还原原几何体如下图所示：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，侧棱底面，则该几何体的体积为，
9、因此，该棱锥的最长棱的长度为.故答案为：；.【点睛】本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题14.在中，为的中点，若，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】计算，根据正弦定理得到，再利用余弦定理计算得到，再根据正弦定理计算得到答案.【详解】，故，.根据正弦定理：，即，.，.根据余弦定理：，故.根据正弦定理：，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.15.已知实数满足则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：，故，当，即，时等号成立.故答案为：.【点睛】
10、本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.16.将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有_种不同的放法.【答案】【解析】【分析】讨论装球盒子的个数，计算得到答案.【详解】当四个盒子有球时：种；当三个盒子有球时：种；当两个盒子有球时：种.故共有种，故答案为：.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.17.已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】
11、过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.【详解】如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，则，故抛物线的与直线平行的切线为.点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设函数.(I)求的最小正周期；(II)若且，求的值.【答案】(I)；(II)【解析】【分析】(I)化简得到，得到周期.(II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案.【详解】(I) ，故.(II) ，故，故，故，故
12、，.【点睛】本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.在三棱锥中，为棱的中点，(I)证明：；(II)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(I)证明见解析；(II)【解析】【分析】(I) 过作于，连接，根据勾股定理得到，得到平面，得到证明(II) 过点作于，证明平面，故为直线与平面所成角，计算夹角得到答案.【详解】(I)过作于，连接，根据角度的垂直关系易知：，故，.根据余弦定理：，解得，故，故，故平面，平面，故.(II)过点作于，平面，平面，故，故平面，故为直线与平面所成角，根据余弦定理：，故.【点睛】本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力
13、和空间想象能力.20.已知等差数列和等比数列满足：(I)求数列和的通项公式；(II)求数列前项和.【答案】(I) ，；(II)【解析】【分析】(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案(II) ，利用裂项相消法计算得到答案.【详解】(I) ，故，解得，故，.(II)，故.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法综合应用.21.如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)(I)试用表示：(II)证明：原点到直线l的距离为定值.【答案】(I) ；(II)证明见解析【解析】【分析】(I)直接利用两点间距离公式
14、化简得到答案.(II) 设，联立方程得到，代入化简得到，计算得到证明.【详解】(I) 椭圆，故，.(II)设，则将代入得到：，故，故，得到，故，同理：，由已知得：或，故，即，化简得到.故原点到直线l的距离为为定值.【点睛】本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.已知，设函数(I)若，求的单调区间：(II)当时，的最小值为0，求的最大值.注：为自然对数的底数.【答案】(I)详见解析；(II) 【解析】【分析】(I)求导得到，讨论和两种情况，得到答案.(II) ，故，取，求导得到单调性，得到，得到答案.【详解】(I) ，当时，恒成立，函数单调递增；当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.(II) 在上恒成立；，故，现在证明存在，使的最小值为0.取，（此时可使），故当上时，故，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，故.综上所述：的最大值为.【点睛】本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
