1、2015-2016学年四川省广元市元坝中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共计60分）1两条直线l1：2x+y1=0和l2：x2y+4=0的交点为（）A（，）B（，）C（，）D（，）2如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）A10B21C35D463已知点A（1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（）A2B2CD4根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）A4B6C8D105不等式（x2y+1）（x+y3）0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的（）ABCD6方程x2+y2+2x+4y+6=0表示
2、的图形是（）A点B两条直线C圆D没有图形7经过点（2，1），且倾斜角为135的直线方程为（）Ax+y3=0Bxy1=0C2xy3=0Dx2y=08已知圆C1：x2+y2+2x4y+1=0，圆C2：（x3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（）A相交B相离C外切D内含9设三棱锥OABC中， =， =， =，G是ABC的重心，则等于（）A +B +C（+）D（+）10已知直线l和平面，若l，P，则过点P且垂直于l的直线（）A只有一条，不在平面内B只有一条，且在平面内C有无数条，一定在平面内D有无数条，不一定在平面内11在正方体ABCDA1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所
3、在的直线异面且夹角为60的直线有（）条A2B3C4D512在RtABC中，ACB=90，AC=1，BC=2，CD是ACB的角平分线（如图）若沿直线CD将ABC折成直二面角BCDA（如图）则折叠后A，B两点间的距离为（）ABC2D3二、填空题（每小题4分，共16分）13在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，2，4），则线段PQ的长度为14某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，3550岁的400人，2035岁的300人为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在3550岁年龄段应抽取的人数为15执行如
4、图所示的程序框图，则输出的结果为16已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件：=l，m与、所成角相等，l，ml，m与平面所成角之和为90，l，mPA于A，Pl，l=B（B不同于P），m，ABm其中可判断lm的条件的序号是三、解答题（17-20小题每小题12分，21、22题各13分）17如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（）平面MNP平面BDD1B1；（）MNAC18某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中a
5、，b的值；（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数身高（单位：cm）150，155）155，160）160，165）165，170）170，175）175，180）180，185）185，190）人数281520251810219如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，CAB=90，AC=2，BC=，且CB1A1B（1）求侧棱AA1的长；（2）求三棱锥B1A1BC的体积20已知ABC的两个顶点A（1，5）和B（0，1），又知C的平分线所在的直线方程为2x3y+6=0，求三角形各边所在直线的方程21如图，在四棱锥PABCD中，
6、PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB平面ABCD，PCAB，E为PD上一点，且PD=3PE（）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值22已知直线l1：mx（m+1）y2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x2是三条不同的直线，其中mR（）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；（）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值2015-2016学年四川省广元市元坝中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计60分）1两条直线l1：2x+y1=0和l
7、2：x2y+4=0的交点为（）A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】两条直线的交点坐标【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】联立方程组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：，故选：B【点评】本题考查了直线的交点问题，是一道基础题2如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）A10B21C35D46【考点】众数、中位数、平均数【专题】概率与统计【分析】通过样本数据的茎叶图直接读出即可【解答】解：通过样本数据的茎叶图发现，有3个数据是35，最多，故选：C【点评】本题考查了样本数据的众数，考查了茎叶图，是一道基础题3已知点A（1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜
8、率为（）A2B2CD【考点】直线的斜率【专题】直线与圆【分析】直接由两点坐标求得直线AB的斜率，再由两直线平行斜率相等得答案【解答】解：A（1，2），B（1，3），又直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为故选：D【点评】本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率公式，是基础的计算题4根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）A4B6C8D10【考点】选择结构【专题】算法和程序框图【分析】执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=2代入即可求值【解答】解：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，故当x=2时，y=2（2+1）=6
9、故选：B【点评】本题主要考查了程序与算法，正确理解程序的功能是解题的关键，属于基础题5不等式（x2y+1）（x+y3）0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的（）ABCD【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】数形结合【分析】不等式（x2y+1）（x+y3）0等价于或者，根据二元一次不等式与区域的关系即可得出正确选项【解答】解：（x2y+1）（x+y3）0或由二元一次不等式与区域的判断规则知，应选C故选C【点评】本题考查二元一次不等式与区域的对应，解题的关键是熟练掌握判断规则，并能作出正确的图形，作图时要注意边界的存在与否选择边界是实线还是虚线6方程x2+y2+2x+
10、4y+6=0表示的图形是（）A点B两条直线C圆D没有图形【考点】二元二次方程表示圆的条件【专题】对应思想；定义法；直线与圆【分析】把方程x2+y2+2x+4y+6=0化为标准方程，即可判断该方程表示什么图形【解答】解：方程x2+y2+2x+4y+6=0可化为（x+1）2+（y+2）2=1，因为r2=10，所以该方程不表示任何图形故选：D【点评】本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用问题，是基础题目7经过点（2，1），且倾斜角为135的直线方程为（）Ax+y3=0Bxy1=0C2xy3=0Dx2y=0【考点】直线的点斜式方程【专题】直线与圆【分析】由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线的点斜式方
11、程得答案【解答】解：直线的倾斜角为135，直线的斜率k=tan135=1又直线过点（2，1），由直线的点斜式可得直线方程为y1=1（x2），即x+y3=0故选：A【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了直线的点斜式方程，是基础题8已知圆C1：x2+y2+2x4y+1=0，圆C2：（x3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（）A相交B相离C外切D内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题；直线与圆【分析】把圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由dR+r得到两圆的位置关系为相离【解答】解：由圆C1：x2+y2+
12、2x4y+1=0，化为（x+1）2+（y2）2=4，圆心C1（1，2），R=2圆C2：（x3）2+（y+1）2=1，圆心C2（3，1），r=1，两圆心间的距离d=52+1，圆C1和圆C2的位置关系是相离故选：B【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式圆与圆位置关系的判定方法为：0dRr，两圆内含；d=Rr，两圆内切；RrdR+r时，两圆相交；d=R+r时，两圆外切；dR+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）9设三棱锥OABC中， =， =， =，G是ABC的重心，则等于（）A +B +C（+）D（+）【考点】向量加减混合运算及其几何意义【专题】数
13、形结合；转化思想；平面向量及应用【分析】=，设AG的延长线与BC相交于点D，由于G是ABC的重心，可得=， =， =，化简即可得出【解答】解： =，设AG的延长线与BC相交于点D，G是ABC的重心，=， =， =，则=+=，故选：D【点评】本题考查了重心的性质、向量的三角形法则、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10已知直线l和平面，若l，P，则过点P且垂直于l的直线（）A只有一条，不在平面内B只有一条，且在平面内C有无数条，一定在平面内D有无数条，不一定在平面内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】整体思想；分析法；空间位置关系与距离；立体几何【分析】过P作一
14、个与l垂直的平面，根据线面垂直的定义，结合线面垂直的几何特征，可得答案【解答】解：过P作一个与l垂直的平面，则平面内过P的所有直线均与l垂直，但只有一条在平面内，故过点P且垂直于l的直线有无数条，不一定在平面内，故选：D【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，难度中档11在正方体ABCDA1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面且夹角为60的直线有（）条A2B3C4D5【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角【分析】作出正方体，利用正方体的空间结构，根据异面直线的定义进行判断【解答】解：如图，在正方体AB
15、CDA1B1C1D1中，与A1B异面而且夹角为60的有：AC，AD1，CB1，B1D1，共有4条故选：C【点评】本题考查异面直线的定义，是基础题，解题时要熟练掌握异面直线的概念12在RtABC中，ACB=90，AC=1，BC=2，CD是ACB的角平分线（如图）若沿直线CD将ABC折成直二面角BCDA（如图）则折叠后A，B两点间的距离为（）ABC2D3【考点】点、线、面间的距离计算【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，利用两条异面直线上两点间的距离公式求解【解答】解：CD是ACB的角平分线，ACD=BCD=45，过A作CD
16、的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，AG=sin45=，BH=2cos45=，CG=cos45=，CH=2sin45=，则HG=CHCG=，|AB|= 故选：B【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了两条异面直线上两点间的距离，运用数学转化思想方法是解答该题的关键，是中档题二、填空题（每小题4分，共16分）13在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，2，4），则线段PQ的长度为【考点】空间两点间的距离公式【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用【分析】根据空间直角坐标系中两点的距离公式，求出线段的长即可【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，0，5）
17、，Q（1，2，4），线段PQ的长度为|PQ|=故答案为：【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点距离公式的应用问题，是基础题目14某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，3550岁的400人，2035岁的300人为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在3550岁年龄段应抽取的人数为20【考点】分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】根据题意，求出抽取样本的比例，计算抽取的人数即可【解答】解：根据题意，得；抽样比例是=，在3550岁年龄段应抽取的人数为400=20故答案为：20【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基
18、础题目15执行如图所示的程序框图，则输出的结果为4【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=8时，不满足条件x4，输出y的值为4【解答】解：执行程序框图，可得x=1，y=1满足条件x4，x=2，y=2满足条件x4，x=4，y=3满足条件x4，x=8，y=4不满足条件x4，输出y的值为4故答案为：4【点评】本题主要考查了程序框图和算法，准确执行循环得到y的值是解题的关键，属于基础题16已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件：=l，m与、所成角相等，l，ml，m与平面所成角之和为90，l，mPA于A，Pl，l=B（B不同
19、于P），m，ABm其中可判断lm的条件的序号是【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】充分利用面面垂直和面面平行的性质定理对选项分别分析选择【解答】解：对于，=l，m与，所成角相等，当m，时，ml，得不到lm；对于，l，得到l或者l，又m，所以l与m不一定垂直；对于，l，m与平面所成角之和为90，当l，m与平面都成45时，可能平行，故错误；对于，l，得到l，又m，所以lm；对于，PA于A，Pl，l=B（B不同于P），m，ABm，根据三垂线定理可得正确故答案为：【点评】本题考查了直线垂直的判断，用到了线面垂直、线面平行的性质定理和判定定理
20、，熟练运用相关的定理是关键，属于中档题目三、解答题（17-20小题每小题12分，21、22题各13分）17如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（）平面MNP平面BDD1B1；（）MNAC【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（）只要证明MPBD，NPDD1，利用面面平行的判定定理可证；（）由已知容易得到NP底面ABCD，利用射影定理，只要证明MPAC即可【解答】证明：（）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，MPBD，NPDD1，平面MN
21、P平面BDD1B1；（）由已知，可得NPDD1，又DD1底面ABCD，NP底面ABCD，MN在底面ABCD的射影为MP，M，N是AB，A1D1的中点，MPBD，又BDAC，MPAC，MNAC【点评】本题考查了正方体的性质以及线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的运用18某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数身高（单位：cm）150，155）155，160）160，165）
22、165，170）170，175）175，180）180，185）185，190）人数2815202518102【考点】频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】（1）根据频率、频数与样本容量的关系，结合频率分布直方图中小矩形的高，求出a、b的值；（2）求出该年级中男生身高不低于170cm的频率，计算对应的频数即可【解答】解：（1）身高在160，165）的频率为=0.15，=0.03，即a=0.03；身高在170，175）的频率为=0.25，=0.05，即b=0.05；（2）该年级中男生身高不低于170cm的频率为0.25+0.0365+0.025+0.0045=0.55，估计该年级中男生身高不低
23、于170cm的人数是10000.55=550【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，是基础题目19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，CAB=90，AC=2，BC=，且CB1A1B（1）求侧棱AA1的长；（2）求三棱锥B1A1BC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧棱AA1的长（2）由=，利用等积法能求出三棱锥B1A1BC的体积【解答】解：（1）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系
24、，设AA1=t，t0，由已知得C（2，0，0），A1（0，0，t），B（0，1，0），B1（0，1，t）， =（2，1，t），CB1A1B，=1t2=0，由t0，解得t=1，侧棱AA1的长为1（2）CAB=90，CAAB，侧棱与底面垂直，ACAA1，又ABAA1=A，CA平面A1B1B，=，CA=2，=【点评】本题考查三棱锥侧棱长的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20已知ABC的两个顶点A（1，5）和B（0，1），又知C的平分线所在的直线方程为2x3y+6=0，求三角形各边所在直线的方程【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程【专题】直线
25、与圆【分析】利用角平分线的性质、对称点的求法、点斜式即可得出【解答】解：设A点关于直线2x3y+6=0的对称点为A（x1，y1），则，解得即A，同理，点B关于直线2x3y+6=0的对称点为B角平分线是角的两边的对称轴，A点在直线BC上直线BC的方程为y=x1，整理得12x31y31=0同理，直线AC的方程为y5= （x+1），整理得24x23y+139=0直线AB的方程为，化为6x+y+1=0综上可得：直线BC的方程为12x31y+31=0；直线AC的方程为24x23y+139=0；直线AB的方程为6x+y+1=0【点评】本题考查了角平分线的性质、对称点的求法、点斜式，考查了计算能力，属于基础
26、题21如图，在四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB平面ABCD，PCAB，E为PD上一点，且PD=3PE（）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】（）建立空间坐标系，利用向量法即可求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（）建立空间坐标系，利用向量法即可求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值【解答】解：（I）取AB的中点O，连接PO，OCPAB为边长为2的正三角形，POAB又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=A
27、B，PO平面PABPO平面ABCD，又PCAB，POPC=P，PO，PC平面POCAB平面POC又OC平面POCABOC以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，则A（1，0，0），C（0，0），P（0，0，），D（2，0），B（1，0，0），PD=3PE，E（，）则=（2，0，0），=（，），则|=，则cos，=，即异面直线AB与CE所成角的余弦值为（2）设平面PAC的法向量为=（x，y，z），=（1，0），=（0，），由，即，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），平面ABCD的法向量为=（0，0，1），则cos，=，故平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为【点评】本题主要考
28、查异面直线所成角的求解，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法考查学生的运算和推理能力22已知直线l1：mx（m+1）y2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x2是三条不同的直线，其中mR（）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；（）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值【考点】直线与圆相交的性质；恒过定点的直线【专题】计算题；直线与圆【分析】（）直线l1：mx（m+1）y2=0，可化为m（xy）（y+2）=0，可得，即可得出直线l1恒过定点，及该点的坐标；（）求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD直线l1【解答】（）证明：直线l1：mx（m+1）y2=0，可化为m（xy）（y+2）=0，x=y=2，直线l1恒过定点D（2，2）；（）解：l2：x+2y+1=0，l3：y=x2联立可得交点坐标C（1，1），求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD直线l1，|CD|=，|AB|的最小值为2=2【点评】本题考查直线l1恒过定点，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础
