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四川省广元市元坝中学2015-2016学年高二上学期期末数学试卷 WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年四川省广元市元坝中学高二(上)期末数学试卷一、选择题(每小题5分,共计60分)1两条直线l1:2x+y1=0和l2:x2y+4=0的交点为()A(,)B(,)C(,)D(,)2如图是某样本数据的茎叶图,则该样本数据的众数为()A10B21C35D463已知点A(1,2),B(1,3),若直线l与直线AB平行,则直线l的斜率为()A2B2CD4根据如图的程序语句,当输入的x的值为2时,则执行程序后输出的结果是()A4B6C8D105不等式(x2y+1)(x+y3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的()ABCD6方程x2+y2+2x+4y+6=0表示

2、的图形是()A点B两条直线C圆D没有图形7经过点(2,1),且倾斜角为135的直线方程为()Ax+y3=0Bxy1=0C2xy3=0Dx2y=08已知圆C1:x2+y2+2x4y+1=0,圆C2:(x3)2+(y+1)2=1,则这两圆的位置关系是()A相交B相离C外切D内含9设三棱锥OABC中, =, =, =,G是ABC的重心,则等于()A +B +C(+)D(+)10已知直线l和平面,若l,P,则过点P且垂直于l的直线()A只有一条,不在平面内B只有一条,且在平面内C有无数条,一定在平面内D有无数条,不一定在平面内11在正方体ABCDA1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中,与A1B所

3、在的直线异面且夹角为60的直线有()条A2B3C4D512在RtABC中,ACB=90,AC=1,BC=2,CD是ACB的角平分线(如图)若沿直线CD将ABC折成直二面角BCDA(如图)则折叠后A,B两点间的距离为()ABC2D3二、填空题(每小题4分,共16分)13在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(1,0,5),Q(1,2,4),则线段PQ的长度为14某单位有1200名职工,其中年龄在50岁以上的有500人,3550岁的400人,2035岁的300人为了解该单位职工的身体健康状况,现采用分层抽样的方法,从1200名职工抽取一个容量为60的样本,则在3550岁年龄段应抽取的人数为15执行如

4、图所示的程序框图,则输出的结果为16已知l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列条件:=l,m与、所成角相等,l,ml,m与平面所成角之和为90,l,mPA于A,Pl,l=B(B不同于P),m,ABm其中可判断lm的条件的序号是三、解答题(17-20小题每小题12分,21、22题各13分)17如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是棱AB,A1D1,AD的中点,求证:()平面MNP平面BDD1B1;()MNAC18某校要调查高中二年级男生的身高情况,现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本样本数据统计如表,对应的频率分布直方图如图所示(1)求频率分布直方图中a

5、,b的值;(2)用样本估计总体,若该校高中二年级男生共有1000人,求该年级中男生身高不低于170cm的人数身高(单位:cm)150,155)155,160)160,165)165,170)170,175)175,180)180,185)185,190)人数281520251810219如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱与底面垂直,CAB=90,AC=2,BC=,且CB1A1B(1)求侧棱AA1的长;(2)求三棱锥B1A1BC的体积20已知ABC的两个顶点A(1,5)和B(0,1),又知C的平分线所在的直线方程为2x3y+6=0,求三角形各边所在直线的方程21如图,在四棱锥PABCD中,

6、PAB是边长为2的正三角形,底面ABCD为菱形,且平面PAB平面ABCD,PCAB,E为PD上一点,且PD=3PE()求异面直线AB与CE所成角的余弦值;()求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值22已知直线l1:mx(m+1)y2=0,l2:x+2y+1=0,l3:y=x2是三条不同的直线,其中mR()求证:直线l1恒过定点,并求出该点的坐标;()若l2,l3的交点为圆心,2为半径的圆C与直线l1相交于A,B两点,求|AB|的最小值2015-2016学年四川省广元市元坝中学高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共计60分)1两条直线l1:2x+y1=0和l

7、2:x2y+4=0的交点为()A(,)B(,)C(,)D(,)【考点】两条直线的交点坐标【专题】方程思想;综合法;直线与圆【分析】联立方程组,解出即可【解答】解:由题意得:,解得:,故选:B【点评】本题考查了直线的交点问题,是一道基础题2如图是某样本数据的茎叶图,则该样本数据的众数为()A10B21C35D46【考点】众数、中位数、平均数【专题】概率与统计【分析】通过样本数据的茎叶图直接读出即可【解答】解:通过样本数据的茎叶图发现,有3个数据是35,最多,故选:C【点评】本题考查了样本数据的众数,考查了茎叶图,是一道基础题3已知点A(1,2),B(1,3),若直线l与直线AB平行,则直线l的斜

8、率为()A2B2CD【考点】直线的斜率【专题】直线与圆【分析】直接由两点坐标求得直线AB的斜率,再由两直线平行斜率相等得答案【解答】解:A(1,2),B(1,3),又直线l与直线AB平行,则直线l的斜率为故选:D【点评】本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率公式,是基础的计算题4根据如图的程序语句,当输入的x的值为2时,则执行程序后输出的结果是()A4B6C8D10【考点】选择结构【专题】算法和程序框图【分析】执行程序语句,可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值,将x=2代入即可求值【解答】解:执行程序语句,可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值,故当x=2时,y=2(2+1)=6

9、故选:B【点评】本题主要考查了程序与算法,正确理解程序的功能是解题的关键,属于基础题5不等式(x2y+1)(x+y3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的()ABCD【考点】二元一次不等式(组)与平面区域【专题】数形结合【分析】不等式(x2y+1)(x+y3)0等价于或者,根据二元一次不等式与区域的关系即可得出正确选项【解答】解:(x2y+1)(x+y3)0或由二元一次不等式与区域的判断规则知,应选C故选C【点评】本题考查二元一次不等式与区域的对应,解题的关键是熟练掌握判断规则,并能作出正确的图形,作图时要注意边界的存在与否选择边界是实线还是虚线6方程x2+y2+2x+

10、4y+6=0表示的图形是()A点B两条直线C圆D没有图形【考点】二元二次方程表示圆的条件【专题】对应思想;定义法;直线与圆【分析】把方程x2+y2+2x+4y+6=0化为标准方程,即可判断该方程表示什么图形【解答】解:方程x2+y2+2x+4y+6=0可化为(x+1)2+(y+2)2=1,因为r2=10,所以该方程不表示任何图形故选:D【点评】本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用问题,是基础题目7经过点(2,1),且倾斜角为135的直线方程为()Ax+y3=0Bxy1=0C2xy3=0Dx2y=0【考点】直线的点斜式方程【专题】直线与圆【分析】由直线的倾斜角求出直线的斜率,代入直线的点斜式方

11、程得答案【解答】解:直线的倾斜角为135,直线的斜率k=tan135=1又直线过点(2,1),由直线的点斜式可得直线方程为y1=1(x2),即x+y3=0故选:A【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,考查了直线的点斜式方程,是基础题8已知圆C1:x2+y2+2x4y+1=0,圆C2:(x3)2+(y+1)2=1,则这两圆的位置关系是()A相交B相离C外切D内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题;直线与圆【分析】把圆的方程化为标准方程,分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r,利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d,由dR+r得到两圆的位置关系为相离【解答】解:由圆C1:x2+y2+

12、2x4y+1=0,化为(x+1)2+(y2)2=4,圆心C1(1,2),R=2圆C2:(x3)2+(y+1)2=1,圆心C2(3,1),r=1,两圆心间的距离d=52+1,圆C1和圆C2的位置关系是相离故选:B【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定,以及两点间的距离公式圆与圆位置关系的判定方法为:0dRr,两圆内含;d=Rr,两圆内切;RrdR+r时,两圆相交;d=R+r时,两圆外切;dR+r时,两圆相离(d为两圆心间的距离,R和r分别为两圆的半径)9设三棱锥OABC中, =, =, =,G是ABC的重心,则等于()A +B +C(+)D(+)【考点】向量加减混合运算及其几何意义【专题】数

13、形结合;转化思想;平面向量及应用【分析】=,设AG的延长线与BC相交于点D,由于G是ABC的重心,可得=, =, =,化简即可得出【解答】解: =,设AG的延长线与BC相交于点D,G是ABC的重心,=, =, =,则=+=,故选:D【点评】本题考查了重心的性质、向量的三角形法则、向量的平行四边形法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题10已知直线l和平面,若l,P,则过点P且垂直于l的直线()A只有一条,不在平面内B只有一条,且在平面内C有无数条,一定在平面内D有无数条,不一定在平面内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】整体思想;分析法;空间位置关系与距离;立体几何【分析】过P作一

14、个与l垂直的平面,根据线面垂直的定义,结合线面垂直的几何特征,可得答案【解答】解:过P作一个与l垂直的平面,则平面内过P的所有直线均与l垂直,但只有一条在平面内,故过点P且垂直于l的直线有无数条,不一定在平面内,故选:D【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,难度中档11在正方体ABCDA1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中,与A1B所在的直线异面且夹角为60的直线有()条A2B3C4D5【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题;转化思想;综合法;空间角【分析】作出正方体,利用正方体的空间结构,根据异面直线的定义进行判断【解答】解:如图,在正方体AB

15、CDA1B1C1D1中,与A1B异面而且夹角为60的有:AC,AD1,CB1,B1D1,共有4条故选:C【点评】本题考查异面直线的定义,是基础题,解题时要熟练掌握异面直线的概念12在RtABC中,ACB=90,AC=1,BC=2,CD是ACB的角平分线(如图)若沿直线CD将ABC折成直二面角BCDA(如图)则折叠后A,B两点间的距离为()ABC2D3【考点】点、线、面间的距离计算【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离【分析】过A作CD的垂线AG,过B作CD的延长线的垂线BH,利用两条异面直线上两点间的距离公式求解【解答】解:CD是ACB的角平分线,ACD=BCD=45,过A作CD

16、的垂线AG,过B作CD的延长线的垂线BH,AG=sin45=,BH=2cos45=,CG=cos45=,CH=2sin45=,则HG=CHCG=,|AB|= 故选:B【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系,考查了两条异面直线上两点间的距离,运用数学转化思想方法是解答该题的关键,是中档题二、填空题(每小题4分,共16分)13在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(1,0,5),Q(1,2,4),则线段PQ的长度为【考点】空间两点间的距离公式【专题】对应思想;定义法;空间向量及应用【分析】根据空间直角坐标系中两点的距离公式,求出线段的长即可【解答】解:在空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,0,5)

17、,Q(1,2,4),线段PQ的长度为|PQ|=故答案为:【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点距离公式的应用问题,是基础题目14某单位有1200名职工,其中年龄在50岁以上的有500人,3550岁的400人,2035岁的300人为了解该单位职工的身体健康状况,现采用分层抽样的方法,从1200名职工抽取一个容量为60的样本,则在3550岁年龄段应抽取的人数为20【考点】分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】根据题意,求出抽取样本的比例,计算抽取的人数即可【解答】解:根据题意,得;抽样比例是=,在3550岁年龄段应抽取的人数为400=20故答案为:20【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题,是基

18、础题目15执行如图所示的程序框图,则输出的结果为4【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的x,y的值,当x=8时,不满足条件x4,输出y的值为4【解答】解:执行程序框图,可得x=1,y=1满足条件x4,x=2,y=2满足条件x4,x=4,y=3满足条件x4,x=8,y=4不满足条件x4,输出y的值为4故答案为:4【点评】本题主要考查了程序框图和算法,准确执行循环得到y的值是解题的关键,属于基础题16已知l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列条件:=l,m与、所成角相等,l,ml,m与平面所成角之和为90,l,mPA于A,Pl,l=B(B不同

19、于P),m,ABm其中可判断lm的条件的序号是【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离【分析】充分利用面面垂直和面面平行的性质定理对选项分别分析选择【解答】解:对于,=l,m与,所成角相等,当m,时,ml,得不到lm;对于,l,得到l或者l,又m,所以l与m不一定垂直;对于,l,m与平面所成角之和为90,当l,m与平面都成45时,可能平行,故错误;对于,l,得到l,又m,所以lm;对于,PA于A,Pl,l=B(B不同于P),m,ABm,根据三垂线定理可得正确故答案为:【点评】本题考查了直线垂直的判断,用到了线面垂直、线面平行的性质定理和判定定理

20、,熟练运用相关的定理是关键,属于中档题目三、解答题(17-20小题每小题12分,21、22题各13分)17如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是棱AB,A1D1,AD的中点,求证:()平面MNP平面BDD1B1;()MNAC【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】()只要证明MPBD,NPDD1,利用面面平行的判定定理可证;()由已知容易得到NP底面ABCD,利用射影定理,只要证明MPAC即可【解答】证明:()在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是棱AB,A1D1,AD的中点,MPBD,NPDD1,平面MN

21、P平面BDD1B1;()由已知,可得NPDD1,又DD1底面ABCD,NP底面ABCD,MN在底面ABCD的射影为MP,M,N是AB,A1D1的中点,MPBD,又BDAC,MPAC,MNAC【点评】本题考查了正方体的性质以及线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的运用18某校要调查高中二年级男生的身高情况,现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本样本数据统计如表,对应的频率分布直方图如图所示(1)求频率分布直方图中a,b的值;(2)用样本估计总体,若该校高中二年级男生共有1000人,求该年级中男生身高不低于170cm的人数身高(单位:cm)150,155)155,160)160,165)

22、165,170)170,175)175,180)180,185)185,190)人数2815202518102【考点】频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】(1)根据频率、频数与样本容量的关系,结合频率分布直方图中小矩形的高,求出a、b的值;(2)求出该年级中男生身高不低于170cm的频率,计算对应的频数即可【解答】解:(1)身高在160,165)的频率为=0.15,=0.03,即a=0.03;身高在170,175)的频率为=0.25,=0.05,即b=0.05;(2)该年级中男生身高不低于170cm的频率为0.25+0.0365+0.025+0.0045=0.55,估计该年级中男生身高不低

23、于170cm的人数是10000.55=550【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题,是基础题目19如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱与底面垂直,CAB=90,AC=2,BC=,且CB1A1B(1)求侧棱AA1的长;(2)求三棱锥B1A1BC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;点、线、面间的距离计算【专题】空间位置关系与距离【分析】(1)以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出侧棱AA1的长(2)由=,利用等积法能求出三棱锥B1A1BC的体积【解答】解:(1)以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系

24、,设AA1=t,t0,由已知得C(2,0,0),A1(0,0,t),B(0,1,0),B1(0,1,t), =(2,1,t),CB1A1B,=1t2=0,由t0,解得t=1,侧棱AA1的长为1(2)CAB=90,CAAB,侧棱与底面垂直,ACAA1,又ABAA1=A,CA平面A1B1B,=,CA=2,=【点评】本题考查三棱锥侧棱长的求法,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养20已知ABC的两个顶点A(1,5)和B(0,1),又知C的平分线所在的直线方程为2x3y+6=0,求三角形各边所在直线的方程【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程【专题】直线

25、与圆【分析】利用角平分线的性质、对称点的求法、点斜式即可得出【解答】解:设A点关于直线2x3y+6=0的对称点为A(x1,y1),则,解得即A,同理,点B关于直线2x3y+6=0的对称点为B角平分线是角的两边的对称轴,A点在直线BC上直线BC的方程为y=x1,整理得12x31y31=0同理,直线AC的方程为y5= (x+1),整理得24x23y+139=0直线AB的方程为,化为6x+y+1=0综上可得:直线BC的方程为12x31y+31=0;直线AC的方程为24x23y+139=0;直线AB的方程为6x+y+1=0【点评】本题考查了角平分线的性质、对称点的求法、点斜式,考查了计算能力,属于基础

26、题21如图,在四棱锥PABCD中,PAB是边长为2的正三角形,底面ABCD为菱形,且平面PAB平面ABCD,PCAB,E为PD上一点,且PD=3PE()求异面直线AB与CE所成角的余弦值;()求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】()建立空间坐标系,利用向量法即可求异面直线AB与CE所成角的余弦值;()建立空间坐标系,利用向量法即可求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值【解答】解:(I)取AB的中点O,连接PO,OCPAB为边长为2的正三角形,POAB又平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=A

27、B,PO平面PABPO平面ABCD,又PCAB,POPC=P,PO,PC平面POCAB平面POC又OC平面POCABOC以O为坐标原点,建立如图所示的空间坐标系,则A(1,0,0),C(0,0),P(0,0,),D(2,0),B(1,0,0),PD=3PE,E(,)则=(2,0,0),=(,),则|=,则cos,=,即异面直线AB与CE所成角的余弦值为(2)设平面PAC的法向量为=(x,y,z),=(1,0),=(0,),由,即,令z=1,则y=1,x=,即=(,1,1),平面ABCD的法向量为=(0,0,1),则cos,=,故平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为【点评】本题主要考

28、查异面直线所成角的求解,以及二面角的求解,建立空间坐标系,利用向量法是解决二面角的常用方法考查学生的运算和推理能力22已知直线l1:mx(m+1)y2=0,l2:x+2y+1=0,l3:y=x2是三条不同的直线,其中mR()求证:直线l1恒过定点,并求出该点的坐标;()若l2,l3的交点为圆心,2为半径的圆C与直线l1相交于A,B两点,求|AB|的最小值【考点】直线与圆相交的性质;恒过定点的直线【专题】计算题;直线与圆【分析】()直线l1:mx(m+1)y2=0,可化为m(xy)(y+2)=0,可得,即可得出直线l1恒过定点,及该点的坐标;()求|AB|的最小值,即求圆心到直线的距离的最大值,此时CD直线l1【解答】()证明:直线l1:mx(m+1)y2=0,可化为m(xy)(y+2)=0,x=y=2,直线l1恒过定点D(2,2);()解:l2:x+2y+1=0,l3:y=x2联立可得交点坐标C(1,1),求|AB|的最小值,即求圆心到直线的距离的最大值,此时CD直线l1,|CD|=,|AB|的最小值为2=2【点评】本题考查直线l1恒过定点,考查弦长的计算,考查学生分析解决问题的能力,比较基础

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