1、新疆师大附中2022届高三年级一模仿真训练三数学试卷测试时间：120分钟 全卷满分：150分一、选择题（本题包含3个小题，每题3分，共9分）1已知集合，则（ ）A B C D2已知复数z满足，则z对应的点所在象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知命题，命题的否定是（ ）A B C D4某中学高三年级共有学生1600人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生12人，则该校高三年级共有女生（ ）A1260B1230C1120D11405关于空间两条直线、和平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则6在满足不等
2、式组的平面区域内随机取一点，设事件A为“”，那么事件A发生的概率为（ ）ABCD7已知且，则（ ）ABCD8如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（ ） A B C D9在ABC中，已知ABBC，AB=BC=2.现将ABC绕边AC旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）A2B2C3D410已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）ABC2D11已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）ABCD12若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）ABCD 二、填空题（本题包含4
3、个小题，每题5分，共20分）13设，则_.14已知为等差数列，为其前n项和若，则_15曲线在处的切线的倾斜角为，则_.16已知斜率为且不经过坐标原点O的直线与椭圆1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为 _三、解答题（本题包含3个小题，每题10分，共30分）17已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和. 18某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列. （1）求的值；（2）分析人员对
4、100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）列联表 男性女性合计消费金额消费金额合计临界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，其中 19如图甲，在直角三角形ABC中，已知ABBC，BC=4，AB=8，D，E分别是AB，AC的
5、中点.将沿DE折起，使点A到达点的位置，且BD，连接，得到如图乙所示的四棱锥，M为线段上一点.（1）证明：平面平面DBCE；（2）过B，C，M三点的平面与线段相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求三棱锥的体积BM=BE；直线EM与BC所成角的大小为45；三棱锥的体积是三棱锥体积的图 甲 图乙 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20已知函数，（1）时，求函数在区间上的最值；（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围 21椭圆的右焦点为，且短轴长为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆与轴正半轴的交点，是否存在直线，使得交椭圆于两点，且恰是的垂
6、心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 二选：22在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，点是曲线C上任意点，求面积的最大值，并求此时M的极径 23已知，函数的最大值为4（1）求的值；（2）求的最小值，并求此时的值绝密启用前数学文科数学 未命名注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据题意得，再根据集合交集运算求解即可.【详解】解：解不等式得
7、，故，所以故选：D2已知复数z满足，则z对应的点所在象限为（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】根据给定条件结合复数除法求出z，即得z对应的点所在象限【详解】依题意，则复数z对应的点坐标为，所以z对应的点所在象限为：第二象限.故选：B3已知命题，命题的否定是（ ）ABCD【答案】B【分析】根据命题的否定的定义，写出命题的否定，然后判断【详解】命题的否定是：故选：B4某中学高三年级共有学生1600人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生12人，则该校高三年级共有女生（ ）A1260B1230C1120D1140【答案】C【
8、分析】由男生所占抽取样本容量的比例求出男生的总人数，进而求出女生总人数.【详解】由男生人数为，所以女生人数为.故选：C5关于空间两条直线、和平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【分析】A. 或，所以该选项错误；B. 或异面，所以该选项错误；C. 或异面或相交，所以该选项错误；D. ，所以该选项正确.【详解】A. 若，则或，所以该选项错误；B. 若，则或异面，所以该选项错误；C. 若，则或异面或相交，所以该选项错误；D. 若，则，所以该选项正确.故选：D【点睛】方法点睛：判断空间直线平面位置关系的命题的真假，常用的方法有：（1）举反例；（2）证明. 要根据已知条
9、件灵活选择方法求解.6在满足不等式组的平面区域内随机取一点，设事件A为“”，那么事件A发生的概率为（ ）ABCD【答案】C【分析】画出不等式所表示的区域，分别求出不等式与符合条件的区域的面积，再由几何概型计算即可.【详解】画出不等式所表示的区域如下图所示： 由上图知，符合条件的为图中阴影部分区域，其面积为，故根据几何概型事件A发生的概率为.故选：C7已知且，则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据，结合余弦和角公式求解即可.【详解】解：因为且，所以，故选：D8如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（ ） ABCD【答案】B【分析】先将用，表示，然后，再用表示即可.【详解】.故选：B
10、9在ABC中，已知ABBC，AB=BC=2.现将ABC绕边AC旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）A2B2C3D4【答案】D【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积计算公式可得【详解】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长，圆锥底面半径，故选：D10已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）ABC2D【答案】D【分析】利用中位线关系求得，再利用双曲线的定义，表示的三边，最后根据勾股定理求双曲线的离心率.【详解】连结，因为点分别为和的
11、中点，所以，且 设点到一条渐近线的距离，所以，又，所以，中，满足，整理为：，双曲线的离心率.故选：D11已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】首先判断函数的单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A12若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】求出函数的导数，问题转化为 而 在 递增，求出 的最小值，从而求出的范围即可 .【详解】若在区间内存在单调递增区间，则有解，故 令 在递增 , 故 故
12、选：D 第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题13设，则_.【答案】.【分析】推导出的值，再求，由此能求出结果.【详解】解：，.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.14已知为等差数列，为其前n项和若，则_【答案】【分析】根据题意得等差数列的公差为，再根据通项公式求解即可.【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以，解得，所以，所以故答案为：15曲线在处的切线的倾斜角为，则_.【答案】【分析】对函数求导代入，即可得出，进而可得结果.【详解】则故答案为：16已知斜率为且不经过坐标原点O的直线与椭圆1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为 _
13、【答案】#【分析】先设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、中点坐标公式得到点的坐标，再利用斜率公式进行求解.【详解】设直线的方程为，联立，得，即，由，得，设，则，即，则直线OM的斜率为.故答案为:. 三、解答题17已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【分析】（1）当时，由，验证时满足，即可得到数列的通项公式，由数列为等比数列，利用基本量思想即可得到通项公式；（2）由（1）得，利用分组求和与裂项相消法即可.【详解】（1）解：，时，.又时，满足上式，又，解得，.
14、（2），【点睛】本题考查数列中与的关系，等比数列中基本量思想，数列求和中分组求和法，裂项相消法，注意裂项的运用，考查运算能力，属于基础题.18某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列. （1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，
15、得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）列联表 男性女性合计消费金额消费金额合计临界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，其中【答案】（1），（2）详见解析（3）395元【分析】（1）根据频率分布直方图可得，结合可得的值. （2）根据表格数据可得，再根据临界值表可得有的把握认为消费金额与性别有关.（3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额.【详解】（1）由频率分布直方图可知，由中间三组的
16、人数成等差数列可知，可解得，（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为男性女性合计消费金额204060消费金额251540合计4555100所以有的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意，.该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元.【点睛】（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是；（2）两类变量是否相关，应先计算的值，再与临界值比较后可判断是否相关.（3）线性回归方程对应的直线必经过.19如图甲，在直角三角形ABC中，已知ABBC，BC=4，AB=8，D，E分别是
17、AB，AC的中点.将沿DE折起，使点A到达点的位置，且BD，连接，得到如图乙所示的四棱锥，M为线段上一点. 图 甲 图乙 （1）证明：平面平面DBCE；（2）过B，C，M三点的平面与线段相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求三棱锥的体积BM=BE；直线EM与BC所成角的大小为45；三棱锥的体积是三棱锥体积的注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）条件选择见解析，【分析】（1）先根据折叠前后的变化得到线线垂直，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明；（2）先分别选择条件得到M为的中点，再利用等体积法合理转化顶点进行求解.（1）解：D，E分别
18、为，的中点， ，平面，平面，平面又平面，平面平面（2）解：选：，M为的中点，选：直线与所成角为又直线与所成角的大小为M为的中点选：,，又，即M为的中点过B，C，M三点的平面与线段相交于点N，平面，平面，又平面平面，N为的中点，又平面，易知平面三棱锥的体积为 20已知函数，（1）时，求函数在区间上的最值；（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围【答案】（1）当时，取得最大值为0；当时，取得最小值为（2）【分析】（1）求导，利用导数的符号判定函数单调性，进而求其最值；（2）作差分离常数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，构造，通过二次求导研究函数的单调性求其最值.（1）解：由题意，
19、因为，所以当时，恒成立所以在上单调递减，所以当时，取得最大值为0；当时，取得最小值为.（2）解：不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则设，则，即函数在上单调递减，当时，即函数在上单调递减当时，当时，有a的取值范围是21椭圆的右焦点为，且短轴长为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆与轴正半轴的交点，是否存在直线，使得交椭圆于两点，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据短轴长和离心率可求，从而得到椭圆的标准方程；（2）假设存在直线，则其斜率为，设的方程为，由为垂心可得，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用
20、韦达定理可得关于的方程，解该方程后可得所求的直线方程.【详解】（1）设椭圆的方程为，则由题意知，所以.，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，的方程为，所以，所以直线的斜率，假设存在直线，使得是的垂心，则.设的斜率为，则，所以.设的方程为,.由，得，由，得，.因为，所以，因为，所以，即， 整理得，所以，整理得，解得或，当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；当时，满足，所以存在直线，使得是的垂心，的方程为.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的几何量的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把题设中的目
21、标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程，从而可得欲求的几何量的值.22在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，点是曲线C上任意点，求面积的最大值，并求此时M的极径【答案】（1）（2）最大值，【分析】(1)化曲线的参数方程为普通方程，再借助极坐标与直角坐标互化公式化成极坐标方程即可.(2)设出点M的坐标，求出点M到直线AB距离及线段AB长即可推理、计算作答.（1）曲线的参数方程(为参数)化成普通方程为：，把代入得：，即，所以曲线的极坐标方程是：.（2）依题意，设，显然， 直线方程为，则到直线的距离，当，即，时，取得最大值，此时，点的极径，所以面积的最大值为，此时M的极径是.23已知，函数的最大值为4（1）求的值；（2）求的最小值，并求此时的值【答案】（1）（2）最小值，【分析】（1）利用绝对值三角不等式进行求解；（2）在第一问的基础上，利用柯西不等式进行求解.（1），（2）由（1），根据柯西不等式，有 ，当且仅当，即，时，取得最小值
