1、全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般为23个客观题.2.考查内容高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握主要涉及函数奇偶性的判断，函数的图象，函数的奇偶性、单调性及周期性综合，指数、对数运算以及指数、对数函数的图象与性质，分段函数求函数值等.3.备考策略(1)重视函数的概念和基本性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图象的作用.(2)重视对基本初等函数的研究，复习时通过选择、填空题加以训练和巩固，将问题和方法进行归纳整理.第一节函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简
2、单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA映射f：AB2.函
3、数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数1常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等
4、于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x的定义域均为R.(6)ylogax(a0，a1)的定义域为x|x0(7)ytan x的定义域为2基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域：当a0时，值域为；当a0时，值域为.(3)y(k0)的值域是y|y0(4)yax(a0且a1)的值域是(0，)(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(2)若
5、两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)函数是一种特殊的映射()(4)若AR，B(0，)，f：xy|x|，则对应f可看作从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材改编1若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()ABC DB由函数定义可知，选项B正确2函数y的定义域为()A.B(，3)(3，)C.(3，) D(3，)C由题意知解得x且x3.3下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()Ay()2 By1Cy1 Dy1By1x1，且函数定义域为R，故选B.4设函数f(x)
6、则f(f(3)_.f(3)，f(f(3)f11.5已知函数f(x)，若f(a)5，则实数a的值为_12由f(a)5得5，解得a12.考点1求函数的定义域已知函数解析式求定义域已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可1.(2019济南模拟)函数yln(2x)的定义域为()A(0,2)B0,2)C(0,1 D0,2B由题意知，x0且2x0，解得0x2，故其定义域是
7、0,2)2函数f(x)的定义域为_(2，)要使函数f(x)有意义，则(log2x)210，即log2x1或log2x1，解得x2或0x，故所求函数的定义域是(2，)逆向问题若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_函数f(x)的定义域为x|1x2不等式ax2abxb0的解集为x|1x2可知a0，不等式化为a(x1)(x2)0，即ax23ax2a0.即ab.求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“”连接如T2.抽象函数的定义域抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合
8、函数f(g(x)的定义域由ag(x)b求出(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域已知函数f(x)的定义域是0,4，则f(x1)f(x1)的定义域是_1,3由题意知解得1x3.故f(x1)f(x1)的定义域为1,3逆向问题已知函数yf(x1)的定义域为，则函数yf(x)的定义域为_1，1因为f(x1)的定义域为，所以1x11，所以函数yf(x)的定义域为1，1函数f(g(x)的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围(如本例逆向问题)1.函数f(x)lg(3x1)的定义域是()A. B.C. D.A由题意可知解得x1，故选A.
9、2函数f(x1)的定义域为0,2 020，则函数g(x)的定义域为_2,1)(1,2 018函数f(x1)的定义域为0，2 020，1x12 019.要使函数g(x)有意义，则解得2x2 018且x1.函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 0183若函数f(x)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为_2,2函数f(x)的定义域为R，a240，即2a2.考点2求函数的解析式求函数解析式的四种方法及适用条件(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数(2)换元法对于形如yf(g(x)的函数解析式，令tg(x
10、)，从中求出x(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围(3)配凑法由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(4)解方程组法已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(1)一题多解已知二次函数f(2x1)4x26x5，求f(x)；(2)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)解(1)法一：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b
11、(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)法二：(换元法)令2x1t(tR)，则x，所以f(t)465t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)法三：(配凑法)因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)(2)解方程组法由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得3f(x)2x12x，即f(x).故f(x)的解析式是f(x)(xR)谨防求函数解析式的两种失误(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题求出解析式后要标注x的取
12、值范围(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围如已知f()x1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)x21，函数f(x)的定义域是0，)，而不是(，)1.如果f，则当x0且x1时，f(x)等于()A. B.C. D.1B令t，得x(t0且t1)，f(t)(t0且t1)，f(x)(x0且x1)2已知f，则f(x)()A(x1)2 B(x1)2Cx2x1 Dx2x1Cf1，所以f(x)x2x1.3已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_.2x(x0)2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x).联立可得解此方程组可得f(x)2x(x0)4已知f(x)是二次函数，且f(0
13、)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)考点3分段函数求函数值解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题(1)(2019合肥模拟)已知函数f(x)则f(f(1)()A B2 C4 D11(2)设函数f(x)则f(5)的值为()A7 B1 C0 D.(1)C(2)D(1)因为f(1)1223，所以f(f(1
14、)f(3)34.故选C.(2)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)221.故选D.求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值(2)当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点教师备选例题已知函数f(x)则f的值为()A1B1C.D.B依题意得ff1f112cos2221.故选B.求参数或自变量的值解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取
15、并集)即可(1)已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)_.(2)设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.(1)(2)(1)当a1时，f(a)2a23，无解；当a1时，由f(a)log2(a1)3，得a18，解得a7，所以f(6a)f(1)212.(2)当a0时，f(a)a20，f(f(a)a42a222，得a(a0与a舍去)当a0时，f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解故a.求解本题的关键是就a的取值讨论f(a)的情形，另本题也可作出f(x)的图象，数形结合求解，即f(a)0或f(a)2，从而求得a的值分段函数与方程、不等式问题解由分段函数构成的不等
16、式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)D当x0时，函数f(x)2x是减函数，则f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x1)f(2x)，则需或所以x0，故选D.本例借助图象较直观地求解得出不等式的解集，另注意求解时要思考全面，需考虑变量可能落在同一区间，也可能落在不同区间的情况教师备选例题设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_根据分段函数的性质分情况讨论
17、，当x0时，则f(x)fx1x11，解得x0.当x0时，根据指数函数的图象和性质以及一次函数的性质与图象可得，f(x)f1恒成立，所以x的取值范围是.1.已知f(x)则ff的值等于()A2 B4 C2 D4B由题意得f2，fff2，所以ff4.2已知函数f(x)若实数a满足f(a)f(a1)，则f()A2 B4 C6 D8D由题意得a0.当0a1时，由f(a)f(a1)，即2a，解得a，则ff(4)8，当a1时，由f(a)f(a1)，得2a2(a1)，不成立故选D.3已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集为()A(，2 B(，0(1,2C0,2 D(，01,2D当x1时，不等式f(x)1为l
18、og2x1，即log2xlog22，函数ylog2x在(0，)上单调递增，1x2.当x1时，不等式f(x)1为1，10，0，0，x0或x1(舍去)，f(x)1的解集是(，01,2故选D.课外素养提升数学抽象函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题【典例】(2019深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(nN*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数给出下列函数：f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x)；(x)ln x.其中是一阶整点函数的是()
19、ABC DC对于函数f(x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(1,3)，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.评析本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解【素养提升练习】1
20、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为yx21，值域为1,3的同族函数有()A1个 B2个C3个 D4个C由x211得x0，由x213得x，所以函数的定义域可以是0，0，0，故值域为1,3的同族函数共有3个2若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(x)f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是()Af(x)cos x Bf(x)sin xCf(x)x22x Df(x)x32xDA中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)f(x)，不符合题意；B中，当xk(kZ)时，满足f(x)f(x)，不符合题意；C中，由f(x)f(x)，得x22xx22x，解得x0，不符合题意；D中，由f(x)f(x)，得x32xx32x，解得x0或x，满足题意，故选D.
