1、2021年重庆市黔江区新华中学高考数学第二次联考试卷一.单选题（每小题5分）.1已知集合，集合Bx|3x6，则AB（）A（3，6）B3，6）C4，5）D4，52z（aR），若z为实数，则a的值为（）ABCD3已知函数yf（x）的图象如图所示，则此函数可能是（）Af（x）Bf（x）Cf（x）Df（x）4已知a，b为不同直线，为不同平面，则下列结论正确的是（）A若a，ba，则bB若a，b，a，b，则C若a，b，ab，则D若b，a，ab，则5若x0cosx0，则（）Ax0（，）Bx0（，）Cx0（，）Dx0（0，）6从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中恰有1名男同
2、学和1名女同学的概率为（）ABCD7已知球O表面上的四点A，B，C，D满足ACBC，AB2，若四面体ABCD体积的最大值为，则球O的表面积为（）ABCD88设F1，F2为双曲线的左右焦点，点P（x0，2a）为双曲线上的一点，若PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）ABCD二.多选题（每题5分，漏选得2分，选错0分。共20分）9给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有（）A设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|PB|k|，则动点P的轨迹为双曲线B过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆C方程2x25x+20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D
3、双曲线1与椭圆+y21有相同的焦点10在长方体ABCDABCD中，AB2，AD3，AA1，以D为原点，以，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A（3，2，1）B异面直线AD与BD所成角的余弦值为C平面ACD的一个法向量为（2，3，6）D二面角CADD的余弦值为11已知a0，b0，则下列结论正确的是（）A若a+b2，则ab1B若c0，则C若loga2020logb20200，则D若，则12已知函数f（x），则下列结论正确的是（）A函数f（x）在（0，）上单调递减B函数f（x）在（，0）上有极小值C方程f（x）在（，0）上只有一个实根D方程f（x）在上有两个实根三
4、.填空题（每题5分，共20分）13在的展开式中，x4的系数是 14如果圆（x2a）2+（ya3）24上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是 15若数列an满足：a11，a21，anan1+an2（n3，nN*），则称数列an为斐波那契数列斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，如图1中的实线部分（正方形内的数字与an为所在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为90的扇形）自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列、芦荟叶子的排列等（如图2），若一母线长为16的圆锥的底面周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度，则该圆锥的侧面积为 16函数f（x）x2a
5、xlnx在上不单调，则实数a的取值范围是 四.解答题（共70分）17已知an是递增的等比数列，a548，4a2，3a3，2a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足b1a2，bn+1bn+an，求数列bn的前n项和Sn18某校在圆心角为直角，半径为1km的扇形区域内进行野外生存训练，在相距1km的A，B（A，B在弧上）两个位置分别有300，100名学生，在道路OB上设置集合点D，要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为S（km）（1）设ADO，写出S关于的函数表达式；（2）当S最小时，集合地点D离点A多远？19如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正
6、三角形，侧面ACC1A1底面ABC，且侧面ACC1A1为菱形，A1AC60，E是BB1的中点，F是AC1与A1C的交点（1）求证：EF底面ABC；（2）求BC与平面A1AB所成角的正弦值20已知椭圆焦点在x轴上过点（0，1），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）A1，A2为椭圆C的左、右顶点，直线l：x2与x轴交于点D，点P是椭圆C：1（ab0）上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点证明：|DE|DF|恒为定值21有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取8件，经检验都为优质品时接受这批产品，若优质品数小于6件则拒收；否则做第二次检验，其做法是从产品中再另
7、任取3件，逐一检验，若检测过程中检测出非优质品就要终止检验且拒收这批产品，否则继续产品检测，且仅当这3件产品都为优质品时接受这批产品，若产品的优质品率为0.9且各件产品是否为优质品相互独立（1）记X为第一次检验的8件产品中优质品的件数，求X的期望与方差；（2）求这批产品被接受的概率；（3）若第一次检测费用固定为1000元，第二次检测费用为每件产品100元，记Y为整个产品检验过程中的总费用，求Y的分布列（附：0.950.590，0.960.531，0.970.478，0.980.430，0.990.387）22设函数f（x）x3+3|xa|，aR（1）若a1，求曲线yf（x）在x2处的切线方程；
8、（2）当x1，1时，求函数f（x）的最小值；（3）已知a0，且对任意的x1，+），都有f（x+a）f（1+a）15a2lnx，求实数a的取值范围参考答案一.单选题：（每题5分，共40分）1已知集合，集合Bx|3x6，则AB（）A（3，6）B3，6）C4，5）D4，5解：Ax|4x5，Bx|3x6，AB4，5）故选：C2z（aR），若z为实数，则a的值为（）ABCD解：z，z为实数，aR，2a30，解得a故选：D3已知函数yf（x）的图象如图所示，则此函数可能是（）Af（x）Bf（x）Cf（x）Df（x）解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x），有x2+|x|20，解可得x1，即f（x）的定
9、义域为x|x1，又由f（x）f（x），f（x）为奇函数，在区间（0，1）上，exex0，x2+|x|20，f（x）0，在区间（1，+）上，exex0，x2+|x|20，f（x）0，符合题意，对于B，f（x），有x2+|x|20，解可得x1，即f（x）的定义域为x|x1，在区间（0，1）上，exex0，x2+|x|20，f（x）0，与图象不符，不符合题意，对于C，f（x），有exex0，解可得x0，即f（x）的定义域为x|x0，与图象不符，不符合题意，对于D，f（x），有exex0，解可得x0，即f（x）的定义域为x|x0，与图象不符，不符合题意，故选：A4已知a，b为不同直线，为不同平面，则下
10、列结论正确的是（）A若a，ba，则bB若a，b，a，b，则C若a，b，ab，则D若b，a，ab，则解：若 a，ba，则b或b，故A错误；若a，b，a，b，则，错误，只有在a与b相交的条件下，若ab，与可能平行，也可能相交；若a，ab，则b或b，又b，则，故C正确；若b，a，ab，则，错误，与可能相交不垂直故选：C5若x0cosx0，则（）Ax0（，）Bx0（，）Cx0（，）Dx0（0，）解：x0cosx0，方程的根就是函数f（x）xcosx的零点，函数是连续函数，并且f（）cos0，f（）0，所以f（）f（）0，所以函数的零点在（，），所以x0（，）故选：C6从3名男同学和2名女同学中任选2名
11、同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率为（）ABCD解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n10，选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学包含的基本事件个数m6，则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率P故选：C7已知球O表面上的四点A，B，C，D满足ACBC，AB2，若四面体ABCD体积的最大值为，则球O的表面积为（）ABCD8解：如图，当平面ABD与平面ABC垂直时，四面体ABCD体积最大，由ACBC，AB2，得ACB90，DG，解得DG2，设四面体ABCD的外接球半径为r，则r2（2r）2+12，解得r球O的表面
12、积为4故选：A8设F1，F2为双曲线的左右焦点，点P（x0，2a）为双曲线上的一点，若PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）ABCD解：如图设P在第一象限，内切圆的圆心为I，内切圆与PF1，PF2，F1F2分别切与点E，F，G，根据圆的切线的性质得：PEPF，F1EF1G，F2FF2G，根据双曲线的定义知：PF1PF22a，即（PE+F1E）（PFF2F）2a，F1GF2G2a，又F1G+F2G2c，联立解得F1Ga+c，F2Gca，G（a，0），内心I的横坐标为a，PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，PF1F2的重心的横坐标为a，由三角形的重心坐标公式可得a，解得
13、x03a，P（3a.2a），将P的坐标代入双曲线可得：1，即91，化简得3a22c2，所以离心率e故选：A二.多选题（每题5分，漏选得2分，选错0分。共20分）9给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有（）A设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|PB|k|，则动点P的轨迹为双曲线B过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆C方程2x25x+20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D双曲线1与椭圆+y21有相同的焦点解：对于A：设A，B为两个定点，设|AB|2c，k为非零常数，当|PA|PB|k|，且|AB|k|时，则动点P的轨迹为双曲线，故A错误；对于B：设定圆的半径
14、为R，设点P（x，y），所以点P的轨迹满足|AP|2+|OP|2R2，由于R2R符合椭圆的定义，故正确；对于C：方程2x25x+20的两根为2和，即椭圆的离心率为，双曲线的离心率为2，故C正确；对于D：双曲线1与椭圆+y21有相同的焦点都为（）和（），故D正确故选：BCD10在长方体ABCDABCD中，AB2，AD3，AA1，以D为原点，以，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A（3，2，1）B异面直线AD与BD所成角的余弦值为C平面ACD的一个法向量为（2，3，6）D二面角CADD的余弦值为解：在长方体ABCDABCD中，AB2，AD3，AA1，以D为原点，
15、以，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，对于A，B（3，2，0），D（0，0，1），（3，2，1），故A正确；对于B，A（3，0，1），D（0，0，0），（3，0，1），（3，2，1），设异面直线AD与BD所成角为，则异面直线AD与BD所成角的余弦值为：cos，故B错误；对于C，C（0，2，1），（3，0，1），（0，2，1），设平面ACD的一个法向量为（x，y，z），则，取z6，得平面ACD的一个法向量为（2，3，6），故C正确；对于D，平面ACD的一个法向量为（2，3，6），平面ADD的一个法向量为（0，1，0），二面角CADD的余弦值为：|cos|，故D正确故选：ACD11已
16、知a0，b0，则下列结论正确的是（）A若a+b2，则ab1B若c0，则C若loga2020logb20200，则D若，则解：对于A，由于，则ab1，故A正确；对于B，当ab时，故B错误；对于C，由loga2020logb20200得，则有1ab，设函数，则f（x）在（1，+）单调递增，所以f（a）f（b），即，则有，故C正确；对于D，当且仅当，即，b3时取等号，故D正确故选故选：ACD12已知函数f（x），则下列结论正确的是（）A函数f（x）在（0，）上单调递减B函数f（x）在（，0）上有极小值C方程f（x）在（，0）上只有一个实根D方程f（x）在上有两个实根解：因为f（x），所以f（x），当
17、f（x）0，即cosxsinx10，所以sin（x+），所以2k+x+2k+，kZ，所以2kx2k，kZ，当k0时，x0，当k1时，x2；当f（x）0，即cosxsinx10，所以sin（x+），所以2kx+2k+，kZ，所以2k2x2k，kZ，当k0时，2x，当k1时，0x，所以当x（ 0，） 时，f（x）0，f（x）单调递减，故A正确；又因为当x（，）时，f（x）0，x（，0）时，f（x）0，所以f（x）在x处取得极小值，故B正确；因为f（）e，f（）0，f（0）1，所以f（x）在（，0）上不只有一个实数根，故C错误；因为方程f（x），即，所以，所以tanx，正切函数ytanx在上单调递增
18、，y，y，当x时，（0，1）时，y0，当x（1，）时，y0，且当x时，y0，作出两函数的大致图象，如图所示：由图象可得，当x，函数ytanx与y的图象有两个交点，故D正确故选：ABD三.填空题（每题5分，共20分）13在的展开式中，x4的系数是80解：在的展开式的通项公式为Tr+125r，令54，可得r2，可得x4的系数是2380，故答案为：8014如果圆（x2a）2+（ya3）24上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是解：原问题可转化为：圆（x2a）2+（ya3）24和圆x2+y21相交，可得两圆圆心之间的距离d，由两圆相交可得，平方可得15a2+6a+99，解得故答案为：15
19、若数列an满足：a11，a21，anan1+an2（n3，nN*），则称数列an为斐波那契数列斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，如图1中的实线部分（正方形内的数字与an为所在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为90的扇形）自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列、芦荟叶子的排列等（如图2），若一母线长为16的圆锥的底面周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度，则该圆锥的侧面积为132解：由a11，a21，anan1+an2（n3，nN*），得a32，a43，a55，a68，a713，则图1中螺旋线的长度为，设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则，l16，圆
20、锥的侧面积为故答案为：13216函数f（x）x2axlnx在上不单调，则实数a的取值范围是解：f（x）2xa（lnx+1），若函数f（x）x2axlnx在上不单调，则方程f（x）0在上有根即方程a在上有根且方程的根是函数f（x）的变号零点，令g（x），则g（x），x（，1）时，g（x）0，g（x）递减，x（1，2）时，g（x）0，g（x）递增，又g（1）2，g（），g（2），由g（2）g（）0，得g（x）（2，），故a（2，），故答案为：（2，）四.解答题（共70分）17已知an是递增的等比数列，a548，4a2，3a3，2a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足b1a2，b
21、n+1bn+an，求数列bn的前n项和Sn解：（）设首项为a1，公比为q的递增的等比数列，a548，4a2，3a3，2a4成等差数列故：，解得：q2或1（舍去），整理得：a13，所以：，（）数列bn满足b1a2，bn+1bn+an，所以：b16则：bn（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1，an1+an2+a2+a1+b1，32n1+3所以：Snb1+b2+bn18某校在圆心角为直角，半径为1km的扇形区域内进行野外生存训练，在相距1km的A，B（A，B在弧上）两个位置分别有300，100名学生，在道路OB上设置集合点D，要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为
22、S（km）（1）设ADO，写出S关于的函数表达式；（2）当S最小时，集合地点D离点A多远？解：（1）AOD中，ADO，OA1，由正弦定理得，解得AD，OD，且（，）；S300AD+100BD300+100（1）50+50，其中（，）；（2）令y，则y，当cos时，y0，y单调递减；当cos时，y0，y单调递增；当且仅当cos时，y取得最小值为2；此时AD，即AD时，S取得最小值为502+50100+50；答：当D、A的距离为时，S取得最小值为100+50（km）19如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1底面ABC，且侧面ACC1A1为菱形，A1AC60，E是
23、BB1的中点，F是AC1与A1C的交点（1）求证：EF底面ABC；（2）求BC与平面A1AB所成角的正弦值解：（1）证法一：取CC1的中点M，连接EM，FM，F是AC1与A1C的交点，且侧面ACC1A1是菱形，F是AC1的中点，FMAC，FM底面ABC，AC底面ABC，FM底面ABC，BB1CC1，BB1CC1，E为BB1中点，BECM，BECM，四边形BCME为平行四边形，EMBC，EM底面ABC，BC底面ABC，EM底面ABC，EMFMM，EM平面EFM，FM平面EFM，平面EFM底面ABC，EF平面EFM，EF底面ABC证法二：取AC中点O，连接OB，OF，F是AC1与A1C的交点，且侧
24、面ACC1A1为菱形，F是A1C的中点，OFAA1，OF，E是BB1的中点，AA1BB1，AA1BB1，E是BB1的中点，AA1BB1，AA1BB1，OFBE，OFBE，四边形OBEF是平行四边形，EFOB，又EF底面ABC，OB底面ABC，EF底面ABC（2）连接OA1，侧面ACC1A1为菱形，A1AC60，A1AC是正三角形，A1OAC，侧面ACC1A1底面ABC，侧面ACC1A1底面ABCAC，A1O侧面ACC1A1，A1O底面ABC，底面ABC为正三角形，O为AC的中点，BOAC，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，底面ABC是边长为2的正
25、三角形，A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），（，1，0），（0，1，），（，1，0），设平面A1AB的一个法向量为（x，y，z），由，取x1，得（1，1），BC与平面A1AB所成角的正弦值为：sin|cos|20已知椭圆焦点在x轴上过点（0，1），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）A1，A2为椭圆C的左、右顶点，直线l：x2与x轴交于点D，点P是椭圆C：1（ab0）上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点证明：|DE|DF|恒为定值解：（）由题意可知，b1，解得a2所以椭圆的方程为+y21（）证明：由（）可知，A1（2，0），A2（2
26、，0）设P（x0，y0），依题意2x02，于是直线A1P的方程为y（x+2），令x2，则y，即|DE|（2+2）又直线A2P的方程为y（x2），令x2，则y，即|DF|（22），所以|DE|DF|（2+2）（22），又P（x0，y0）在+y21上，所以+y021，即4y024x02，代入上式，得|DE|DF|1，所以|DE|DF|为定值121有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取8件，经检验都为优质品时接受这批产品，若优质品数小于6件则拒收；否则做第二次检验，其做法是从产品中再另任取3件，逐一检验，若检测过程中检测出非优质品就要终止检验且拒收这批产品，否则继续产品检测，且仅当这
27、3件产品都为优质品时接受这批产品，若产品的优质品率为0.9且各件产品是否为优质品相互独立（1）记X为第一次检验的8件产品中优质品的件数，求X的期望与方差；（2）求这批产品被接受的概率；（3）若第一次检测费用固定为1000元，第二次检测费用为每件产品100元，记Y为整个产品检验过程中的总费用，求Y的分布列（附：0.950.590，0.960.531，0.970.478，0.980.430，0.990.387）解：（1）产品的优质品率为0.9，从中任取8件，X为第一次检验的8件产品中优质品的件数，依题意有XB（8，0.9），X的期望为：E（X）80.97.2，X的方差为：D（X）80.90.10.
28、72（2）产品被接受的概率：P0.930.817（3）Y的取值为：1000元、1100元、1200元、1300元P（Y1000）1（）10.960.469，P（Y1100）0.5310.10.0531，P（Y1200）0.5310.90.10.04779，P（Y1300）0.5310.9210.43011，Y的分布列为：Y1000110012001300P0.4690.05310.047790.4301122设函数f（x）x3+3|xa|，aR（1）若a1，求曲线yf（x）在x2处的切线方程；（2）当x1，1时，求函数f（x）的最小值；（3）已知a0，且对任意的x1，+），都有f（x+a）f（
29、1+a）15a2lnx，求实数a的取值范围解：（1）当a1时，f（x）x3+3|x1|，则当x1时，f（x）x3+3x3，f（x）3x2+3所以f（2）8+6311，f（2）34+315，则f（x）在x2处的切线方程为：y1115（x2），即15xy190；（2）当a1时，f（x）x3+3x3a，则f（x）3x2+30，所以f（x）在1，1上单调递增，所以f（x）minf（1）43a；当a1时，f（x）x33x+3a，则f（x）3x230，所以f（x）在1，1上单调递增，所以f（x）minf（1）2+3a；当1a1时，f（x），由可知，函数f（x）在（1，a）上单调递减，在（a，1）单调递增，
30、所以f（x）minf（a）a3，综上：当a1时，f（x）min43a；当1a1时，f（x）mina3，当a1时，f（x）min2+3a；（3）当a0时，且对任意的x1，+），都有f（x+a）f（1+a）15a2lnx，即对任意x1有（x+a）3+3x15a2lna（a+1）330，设g（x）（x+a）3+3x15a2lna（a+1）33，则g（1）0，g（x）3（x+a）2+3，设h（x）g（x）3（x+a）2+3，因为a0，x1，所以h（x）6（x+a）+0，所以h（x）在1，+）上单调递增，所以h（x）h（1），即g（x）g（1）3（1+a）2+315a2（a1）（2a+1），1当g（1）0即0a1时，g（x）0恒成立，所以g（x）在1，+）上单调递增，此时g（x）g（1）0满足题意；2当g（1）0即a1时，因为g（a）12a215a+33（a1）（4a1）0，且g（x）在1，+）上单调递增，所以存在唯一的x01，使得g（x0）0，因此当1xx0时，g（x）0，当xx0时，g（x）0，所以g（x）在（1，x0）单调递减，（x0，+）上单调递增，所以g（x0）g（1）0，不满足题意，综上，0a1
