1、第二章推理与证明2.2.1.综合法和分析法 1理解用分析法、综合法解决问题的思考特点和过程2能结合使用分析法、综合法解决问题3正确认识和理解综合法和分析法的相似之处和内在联系，培养辩证地认识问题、分析问题的观点意识分析法1定义：一般地，从要证明的，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(、等)为止，这种证明方法叫做分析法2框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：结论出发充分条件已知条件定理定义公理知识导学2综合法(1)定义：一般地，利用和某些数学、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(2)框图表示：用P表示已知
2、条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：已知条件定义定理公理推理论证【例 1】已知 a，b，cR，且 abc1，求证：a2b2c213.探究点一用综合法证明不等式问题问题探究证明(1)a2192a3，b2192b3，c2192c3，a219 b219 c219 23a23b23c(当且仅当 abc13时取“”)23(abc)23.a2b2c213.在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件 归纳总结1、已知 a，b 是正数，且 ab1，求证：1a1b4.证明法一a
3、，b 是正数且 ab1，ab2 ab，ab12，1a1babab 1ab4.学以致用法二a，b 是正数，ab2 ab0，1a1b21ab0，(ab)1a1b 4.又 ab1，1a1b4.法三1a1baba abb 1baab122baab4.当且仅当 ab 时，取“”号【例 2】设数列an的前 n 项和为 Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中 m 为常数，且 m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比 qf(m)，数列bn满足 b1a1，bn32f(bn1)(nN*，n2)，求证：1bn 为等差数列探究点二用综合法证明数学中的其他问题问题探究解：(1)由(3m)Sn2
4、manm3 得(3m)Sn12man1m3.两式相减得(3m)an12man，(m3)，an1an 2mm3，an是等比数列(2)b1a11，qf(m)2mm3，nN*，n2 时，bn32f(bn1)32 2bn1bn13bnbn13bn3bn1 1bn 1bn113.数列1bn 为首项为 1，公差为13的等差数列(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件(2)综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列
5、问题、函数问题等等归纳总结2、已知数列an的首项 a123，an1 2anan1，n1,2，.(1)求证数列1an1 是等比数列；(2)求数列nan 的前 n 项和 Sn.学以致用(1)证明an1 2anan1，1an1an12an 1212 1an，1an11121an1.又a123，1a1112，数列1an1 是以12为首项，12为公比的等比数列(2)解由(1)知1an112 12n112n.即1an12n1，nan n2nn.设 Tn12222 323n2n，则 12Tn122 223n12n n2n1得 12Tn12 122 12n n2n1121 12n112 n2n11 12nn2
6、n1，Tn2 22n n2n22n2n.又123nnn12，数列nan 的前 n 项和 Sn22n2n nn12n2n42n22n.【例 1】设 a，b 为实数，求证：a2b2 22(ab)问题探究探究点三应用分析法证明不等式证明当 ab0 时，a2b20，a2b2 22(ab)成立当 ab0 时，用分析法证明如下：证明当 ab0 时，a2b20，a2b2 22(ab)成立当 ab0 时，用分析法证明如下：要证 a2b2 22(ab)，只需证(a2b2)222 ab 2，即证 a2b212(a2b22ab)，即证 a2b22ab.a2b22ab 对一切实数恒成立，a2b2 22(ab)成立综上
7、所述，不等式得证用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语归纳总结3、已知 a，b 是正实数，求证：ab baa b.证明要证 ab ba a b，只要证 a ab b ab(a b)学以致用即证(ab ab)(a b)ab(a b)，因为 a，b 是正实数，即证 ab ab ab，也就是要证 ab2 ab，即(a b)
8、20.该式显然成立，所以 ab ba a b.【例 4】已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0 x1.求证：logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc.问题探究探究点四综合法和分析法的综合应用要证明：logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc，只需要证明 logxab2 bc2 ac2logx(abc)由已知 0 xabc.由公式ab2 ab0，bc2 bc0，ac2 ac0.又a，b，c 是不全相等的正数，ab2 bc2 ac2 a2b2c2abc.即ab2 bc2 ac2 abc 成立logxab2 logxbc2
9、 logxac2 0，b0，则下列不等式中不成立的是()Aab 1ab2 2B(ab)1a1b 4C.a2b2ab abD.2abab ab解析a0，b0，2abab ab答案D当堂检测2若 a、b、cR，且 abbcca1，则下列不等式成立的是()Aa2b2c22B(abc)23C.1a1b1c2 3Dabc(abc)13 答案 B 解析 a、b、cR，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，a2b2c2abbcac1 又(abc)2a2b2c22ab2bc2ac a2b2c223.3下面叙述正确的是()A综合法、分析法是直接证明的方法B综合法是直接证法，分析法是间接证法C综合法、分
10、析法所用语气都是肯定的D综合法、分析法所用语气都是假定的答案 A解析 在分析法中的语气即有肯定又有否定两种证明方法均是直接证明4A、B为ABC的内角，AB是sinAsinB的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 C解析ABab，又 asinA bsinB2R，2RsinA2RsinB，sinAsinB，反之亦然5设 a0，b0，c0，若 abc1，则1a1b1c的最小值为_解析 a0，b0，c0，abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3baabcaaccbbc32baab2caac2cbbc9当且仅当 abc13时等号成立6函数yf(x)在(0,2)
11、上是增函数，yf(x2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是_答案 f(3.5)f(1)f(2.5)解析 yf(x2)是偶函数，则x2是f(x)的对称轴，又f(x)在(0,2)上为增函数，f(1)f(1.5)f(2.5)，f(3.5)f(0.5)f(1)，f(3.5)f(1)f(2.5)7已知 a、b、cR，求证：a2b2c23abc3.解析 证明：要证a2b2c23abc3，只需证：a2b2c23(abc3)2，只需证：3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，只需证：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需证：(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以a2b2c23abc3成立
