1、第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1曲线与方程目标 1.了解曲线与方程的概念，能够推断曲线与方程的对应关系.2.会判定一个点是否在已知曲线上重点 由曲线方程讨论曲线的性质难点 对曲线与方程关系的理解知识点曲线的方程和方程的曲线填一填在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线答一答1曲线与方程的概念中关系分别从什么角度强调曲线与方程的概念？提示：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解
2、”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外；“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏2“方程的曲线”与“曲线的方程”一样吗？提示：曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形3如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线上，则f(x0，y0)0；若f(x0，y0)0，则点P在曲线C上点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)0.曲线与方程的“纯粹性”与“完备性”
3、1定义中的关系说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”2定义中的关系说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”.类型一曲线与方程的概念【例1】判断下列命题的正误，并说明理由(1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程为|x|2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是yx.【分析】“曲线与方程”的关系需要满足以下两个条件：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上【解】(1)不正确过点A(2,0)且平行于y轴的直线是在y轴右侧，距离y轴2个单位长，与y轴平行的一条直线直线l上的点的坐标
4、都是方程|x|2的解，而以|x|2的解为坐标的点不全在直线l上(2)不正确到两坐标轴距离相等的点的轨迹是第一、三象限的角平分线(yx)和第二、四象限的角平分线(yx)，以方程yx的解为坐标的点都在到两坐标轴距离相等的直线上，而直线上的点的坐标不全是方程yx的解例如：第二、四象限的角平分线上的点除(0,0)外，其坐标都不是方程yx的解义中的关系或仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性.“以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C的方程是f(x，y)0”的(B)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充
5、分也不必要条件解析：判断曲线与方程的关系，关键是要说明定义中的两个条件是否都成立本题仅包含其中一个条件成立根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f(x，y)0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x，y)0的解”和“以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义类型二曲线与方程的判定问题【例2】(1)方程(xy1)0表示什么曲线？(2)方程2x2y24x2y30表示什么曲线？【分析】为了判断方程表示什么曲线，当给出的方程不易看出是什么曲线时，需对原方程变形【解】(1)由方程(xy1)0可得或.即xy10(x1)或x1，表示直线x1和射线xy10(x1)(2)方程左边配方得2(x1)
6、2(y1)20，2(x1)20，(y1)20，.方程表示的图形是点A(1，1)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.另外，变形的方法还有配方法、因式分解法等.方程y表示的曲线是(B)解析：方法1：对于方程y，当x0时，y，图象在第一象限；当x0时，y0，故选B.类型三点与方程表示的曲线的关系判定【例3】已知方程x24x1y.(1)判断点P(1，4)，Q(3,2)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值；(3)求该方程表示的曲线与曲线y2x7的交点的坐标【分析】对于(1)和(2)
7、，可将点的坐标代入曲线方程进行判断和求解；对于(3)，可通过解方程组求得交点坐标【解】(1)因为(1)24(1)14，(3)24(3)12，所以点P坐标适合方程，点Q坐标不适合方程，即点P在曲线上，点Q不在曲线上(2)因为点M在此方程表示的曲线上，所以241m1，即m24m0，解得m0或m4.(3)联立消去y，得x24x12x7，即x22x80，解得x12，x24，于是y111，y21，故两曲线的交点坐标为(2,11)和(4，1)(1)判断某个点是否是曲线上的点，就是检验这个点的坐标是否是该曲线的方程的解，若适合方程，就说明这个点在该曲线上；若不适合，就说明点不在该曲线上.(2)求两条曲线的交
8、点坐标，就是联立两条曲线的方程，构成方程组，然后解方程组，方程组的解就是交点的坐标，方程组解的个数就是两曲线交点的个数.(1)判断点A(1,3)，B(2,2)是否在方程x22xy0表示的曲线上；(2)已知方程xy3xky20表示的曲线经过点(2，1)，求k的值解：(1)因为122130，所以点A(1,3)在方程x22xy0表示的曲线上；因为2222260，所以点B(2,2)不在方程x22xy0表示的曲线上(2)由题意可知，(2，1)是方程xy3xky20的一组解，所以26k20，解得k6.故k的值是6.类型四素养提升对曲线与方程概念理解的错误【例4】给出下列命题：设A(2,0)，B(2,0)，
9、C(0,2)，则ABC的边AB的中线方程为x0；到原点的距离等于5的动点的轨迹方程是y；到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2y2；yx与1是相同的曲线的方程其中正确命题的序号是_【错解】【错因分析】曲线C的方程是f(x，y)0，方程f(x，y)0的曲线是C，必须同时满足：(1)曲线C上的点的坐标都满足方程f(x，y)0；(2)以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上命题中，ABC的边AB的中线上的点都满足x0，但是以x0的解为坐标的点不都在ABC的边AB的中线上，如点(0，3)只满足条件(1)，不满足条件(2)，故命题错误同理，命题只满足条件(2)，不满足条件(1)，也是错误的，命题两
10、个条件同时满足，是正确的命题中，1yx(x0)，它的曲线比yx的曲线少一个点(0,0)，因此它们不表示相同的曲线【正解】下列命题正确的是(D)A方程1表示斜率为1，在y轴上截距是2的直线方程BABC的三个顶点A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，则AB边上的中线的方程是x0C到y轴距离为2的点的轨迹方程为x2D方程y表示两条射线解析：A中方程1等价于yx2(x2)，表示斜率为1，在y轴截距是2的直线除去点(2,0)的部分；B中AB边上的中线方程是x0(0y3)；C中到y轴距离为2的点的轨迹方程为|x|2；D中y等价于y|x1|表示两条射线，故选D.1下列各对方程表示的是相同曲线的是(D)A
11、xy，1 Bxy，yC|y|x|， D|y|x|，y2x2解析：A、B、C中各对方程均不是同解方程，其中A.xy与yx(x0)，B.xy与y|x|，C.yx与yx(x0)，故选D.2与y轴距离等于2的点的轨迹方程是(D)Ay2 By2Cx2 Dx23方程(x24)2(y24)20表示的图形是四个点解析：由得或或或即表示四个点(2,2)，(2，2)，(2,2)，(2，2)4如果方程ax2by24的曲线过A(0，2)，B(，)两点，则a4，b1.解析：分别将A、B两点坐标代入方程得解得5请分别画出下列方程的曲线(1)yx；(2)yxx2；(3)1；(4)lgylgx.解：依次如下图注：(2)图包括y轴
