1、23平面向量的基本定理及坐标表示23.1平面向量基本定理内容标准学科素养1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当选定一组基底后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.应用直观想象发展逻辑推理应用数学抽象授课提示：对应学生用书第54页基础认识知识点一平面向量基本定理阅读教材P9394，思考并完成以下问题(1)如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？提示：a可以用e1，e2表示，可利用向量的线性运算(2)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a3e
2、12e2，如何作出a.提示：在平面内任取一点O，作3e1，作2e2.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则3e12e2.(3)设e1，e2，a是平面内任一向量，如何用e1，e2表示a?提示：将a平移到O为起点，即作a，过C作OM的平行线交ON的延长线于B点，过C作ON的平行线交OM的延长线于A点，则2e2，1e1，a1e12e2.知识梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内一组向量的一组基底思考如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否
3、用e1，e2表示？提示：不能表示知识点二两向量的夹角与垂直思考并完成以下问题不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用角度表示吗？如图，在平面直角坐标系中，OM为第一象限角平分线ON为第二象限角平分线(1)与两个方向所夹的角是多少？提示：45.(2)与两个方向所夹的角是多少？提示：90.(3)与两个方向所夹的角是多少？提示：135.知识梳理(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角(如图所示)当0时，a与b同向；当180时，a与b反向(2)垂直：如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.自我检测1给出下列三种说法：一个平面内只有一组不共线的向
4、量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量其中，说法正确的为()ABC D答案：B2.如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若a，b，则等于()A.(ab) B(ab)C.(ab) D(ab)答案：C授课提示：对应学生用书第55页探究一基底的概念例1(1)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2De1和e1e2解析3e14e2与6e18e2共线答案B(2)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么(
5、)A若实数1，2，使1e12e20，则120B空间任一向量a可以表示为a1e12e2，这里1，2为实数C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对解析平面内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数1，2，向量1e12e2一定在平面内，故C不正确；而对平面内的任一向量a，实数1，2是唯一的，故D不正确答案A方法技巧对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一
6、线性表示出来设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1ay1bx2ay2b，则跟踪探究1.设O点是平行四边形ABCD两条对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在的平面的基底的是()与；与；与；与.ABC D答案：B探究二用基底表示向量教材P120第4题如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，E、F分别是腰AD、BC的中点，M、N是线段EF上的两点，且EMMNNF，下底是上底的2倍，若a，b，求.解析：，得2aaa，a.abaab.例2如图，ABCD的对角线AC和BD交于点M，a，b，试用基底a，b表示，.解析ab，ba，因为平行四边形的对角线互相平分，所以ab.ab，ba，所以ab.方
7、法技巧平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量延伸探究1.若本例中的条件不变，添加“”，试用a，b表示.解析：a(ab)ab.2.若本例题中，若E，F分别是边CD与BC的中点，其中，R，求的值解析：ab，ab，ab，则abab，所以两式相加得()2，故.探究三向量的夹角教材P120第1题(6)问若向量a、b、c两两所成的角相等，且|a|1，
8、|b|1，|c|3，则|abc|等于()A2B5C2或5 D.或解析：若a，b，c同向，夹角都为0，则|abc|a|b|c|1135.若a与b，b与c，c与a成120.如图，a，b，c.以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则ab，且|1，与反向|abc|312.故选C.答案：C例3已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，设ab与a的夹角为，ab与a的夹角是，求.解析如图，作a，b，且AOB60，以OA，OB为邻边作OACB，则ab，ab，a.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所以OAB60ABC，即ab与a的夹角60.因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OCAB，所以C
9、OA906030，即ab与a的夹角30，所以90.方法技巧(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出(2)特别地，a与b的夹角为，1a与2b(1，2是非零常数)的夹角为0，当120时，0.跟踪探究2.已知|a|b|，且a与b的夹角为120，求ab与a的夹角，ab与a的夹角解析：如图，作a，b，AOB120，以，为邻边作平行四边形OACB，则ab，ab.|a|b|，平行四边形OACB为菱形与的夹角AOC60，与的夹角即为与的夹角ABC30.ab与a的夹角为60，ab与a的夹角为30.授课提示：对应学生用书第56页课后小结1对基底
10、的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决素养培优1不擅于利用方程思想分解向量典例在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A.B.C.D1易错分析此题不能设出向量的分解式，且不能利用三点共线的性质，导致无解或错解自我纠正解析M为边BC上任意一点，可设xy(xy1)N为AM的中点，xy.(xy).答案A2不能正确分解向量致错典例如图所示，OMAB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且xy，则x的取值范围是_；当x时，y的取值范围是_易错分析不理解如何将分解到与上，而找不清系数x与y的取值自我纠正解析由题意得ab(a，bR，0b0)由a0，得x(，0)又由xy，知0xy1.当x时，有0y1，解得y，即y答案(，0)
