1、12.1任意角的三角函数(二)内容标准学科素养1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第10页基础认识知识点三角函数线阅读教材P1517，思考并完成以下问题在平面直角坐标系中，任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？当的终边不在坐标轴上时(1)以M为起点，P为终点，
2、规定当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正方向且表示正值，当MP与y轴反向时，MP的方向为负方向且表示负值，那么，sin 可否用线段MP表示？提示：MPysin .(2)如果以O为起点，M为终点，规定OM方向与x轴同向时，表示正值，OM方向与x轴方向反向时，表示负值，那么，cos 与OM有什么关系？提示：OMxcos .(3)如果以A为起点，T为终点，AT方向与y轴方向相同时表示正值，AT方向与y轴方向相反时表示负值，那么tan 与AT有什么关系？提示：tan AT.知识梳理如图为角的三种三角函数，则sin MP，cos OM，tan AT.有向线段MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线思考
3、有向线段MP与线段MP有什么不同？提示：有向线段MP就是由M指向P，规定了起点和终点，有方向线段MP只是两点M、P间的线段，无方向自我检测1如图，在单位圆中，角的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线为PM，正切线为ATB正弦线为MP，正切线为ATC正弦线为MP，正切线为ATD正弦线为PM，正切线为AT答案：C2当x0，2时，不等式sin x的解集为_答案：授课提示：对应学生用书第11页探究一三角函数线及其作法例1分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线(1)；(2).解析正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.方法技巧三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点
4、，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交的终边(为第一或第四象限角)或终边的反向延长线(为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.跟踪探究(1)作出的正弦线；(2)作出的正切线解析：(1)作出的正弦线MP，如图所示(2)作出的正切线AT如图所示探究二利用函数线比较大小教材P69第11题比较大小：sin 37821，tan1 111.解析：sin 37821sin 1821tan 1 111tan 31，tan 31sin 31sin 1821，故tan 1 111sin 37821.例2利用三角函数线比较下列各组数的大
5、小：(1)sin与sin；(2)tan与tan. 解析如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，sinMP，tanAT；的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，则sinMP，tanAT，由图可见，MPMP0，ATATsin，(2)tantan.方法技巧利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负延伸探究1.本例改为比较cos和cos的大小解析：由例题解析图可知，cosOM，cosOM.且|O
6、M|OM|，又OM0，OM0，OMcos.探究三利用三角函数线解不等式(组)角度1利用三角函数线解不等式例3在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)tan 1.解析(1)作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，如图所示，故满足条件的角的集合为.(2)在单位圆过点A(1，0)的切线上取AT1，连接OT，OT所在直线与单位圆交于P1，P2两点，则图中阴影部分即为角终边的范围，如图所示，所以的取值集合是.角度2利用三角函数线求三角函数定义域例4求函数ylg的定义域解析由题意知，自变量x应满足不等式组即则不等
7、式组的解的集合如图(阴影部分)所示，.角度3利用三角函数线证明三角不等式例5若0，证明：sin tan .证明如图所示，在单位圆中画出三角函数线，连接AP，SOAPS扇形OAPSOAT，OAMPlOAOAAT，即MPlAT，sin 0，sin2x，sin x.如图，x(kZ)，即x(kZ)，函数的定义域为(kZ)授课提示：对应学生用书第12页课后小结1三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，
8、向左为负三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便2三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒3三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了4当的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时的正弦值、正切值为0，余弦值为1.当
9、的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，的余弦值为0，正切值不存在，正弦值为1.素养培优1比较三角函数大小，忽视三角函数线的方向典例用三角函数线比较cos 1 255与cos 1 600的大小易错分析此题易错有两点，一是不将角度化为0360，使角的象限找错；二是不考虑余弦线的方向，而只看线段长度自我纠正解析cos 1 255cos(3360175)cos 175，cos 1 600cos(4360160)cos 160.如图，作175、160的余弦线OM1、OM2，OM1OM2，cos 175cos 160，即cos 1 255cos 1 600.2利用函数线求角的区域、角的方向转错典例已知cos ，利用单位圆中的三角函数线，确定角的取值范围易错分析此题易错有三点，一是把角的终边方向转错，使角区域求错，错写为或；二是角的终边不分虚实；三是丢掉2k.自我纠正解析如图，在坐标中作出，的终边，OP1，OP2，OP3，OP4.适合题意的是从OP1逆时针转到OP3或从OP4逆时针转到OP2.故的范围为.
