1、第5讲椭圆最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质知 识 梳 理1椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴
2、：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()解析(
3、1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形(2)因为e，所以e越大，则越小，椭圆就越扁答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2015广东卷)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2 B3 C4 D9解析依题意有25m216，m0，m3.选B.答案B3已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析由椭圆的定义可知AF1B的周长为4a，所以4a4，故a，
4、又由e，得c1，所以b2a2c22，则C的方程为1，故选A.答案A4(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知2b，解得，即e，故选B.答案B5(教材改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y
5、1代入1，得x，又x0，所以x，P点坐标为或.答案或考点一椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且F1PF260，SPF1F23，则b_.解析(1)连接QA.由已知得|QA|QP|.所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因为点A在圆内，所以|OA|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆故选A.(2)由题意得|PF1|P
6、F2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|sin 60b2b23，所以b3.答案(1)A(2)3规律方法(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等(2)椭圆的定义式必须满足2a|F1F2|.【训练1】 (1)已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|
7、2，则PF1F2的面积是()A. B2C2 D.(2)(2017南昌调研)与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_解析(1)由椭圆的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F为直角，所以SPF1F2|F1F2|PF2|21.(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)为
8、焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为1.答案(1)A(2)1考点二椭圆的标准方程【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆标准方程为_解析(1)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.椭圆方程为1.(2)法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.法二设所求椭圆方程为1(kb0)过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3，点A必在椭圆上，1.又由c1，得1b2a2.
9、由联立，得b23，a24.故所求椭圆C的方程为1.答案(1)A(2)1考点三椭圆的几何性质【例3】 (1)(2016全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.(2)(2015福建卷)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析(1)设M(c，m)，则E，OE的中
10、点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，所以a3c，所以e.(2)设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1bb0)，e，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且(其中1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值解(1)由条件可知，c1，a2，故b2a2c23，椭圆C的标准方程是1.(2)由，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)若直线ABx轴，则x1x21，不符合题意当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为yk(x1)由消去y得
11、(34k2)x28k2x4k2120.由的判别式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.x1x2，k2.将k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，又1，.思想方法1椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况2求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值
12、，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2ny21(m0，n0且mn)易错防范1判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小2在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根3椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1椭圆1的焦距为2，则m的值等于()A5 B3 C5或3 D8解析当m4时，m41，m5；当0m4时，4m1，m3.答案C2“2m6”是“方程1表示椭圆”的
13、()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析若1表示椭圆则有2m6且m4.故“2mb0)的左焦点为F，若F关于直线xy0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.1解析设F(c,0)关于直线xy0的对称点A(m，n)，则m，nc，代入椭圆方程可得1，并把b2a2c2代入，化简可得e48e240，解得e242，又0e1，e1，故选D.答案D12(2017海沧实验中学模拟)已知直线l：ykx2过椭圆1(ab0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2y24截得的弦长为L，若L，则椭圆离心率e的取值范围是()A. B.C. D.解析依题意，知b2，k
14、c2.设圆心到直线l的距离为d，则L2，解得d2.又因为d，所以，解得k2.于是e2，所以0e2，解得0e.故选B.答案B13椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y)F1PF2为钝角，0，即x23y20，y21，代入得x2310，即x22，x2.解得x，x.答案14(2017西安质监)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|6，直线ykx与椭圆交于A，B两点(1)若AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k，且A，B，F1，F2四点
15、共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1(2，1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围解(1)由题意得c3，根据2a2c16，得a5.结合a2b2c2，解得a225，b216.所以椭圆的标准方程为1.(2)法一由得x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2BF2，因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x28，所以有8，结合b29a2，解得a212，e.法二设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以xy9，又由椭圆及直线方程综合可得由前两个方程解得x8，y1，将其代入第三个方程并结合b2a2c2a29，解得a212，故e.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为1，由题可设A(x1，y1)，B(x1，y1)，k1，k2，所以k1k2，又.即k2，由2k11可知，k2.故直线PB的斜率k2的取值范围是.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
