1、第2讲两条直线的位置关系最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离知 识 梳 理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线相交直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC
2、20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式为|AB|.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()
3、(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()解析(1)两直线l1，l2有可能重合(2)如果l1l2，若l1的斜率k10，则l2的斜率不存在答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2016北京卷)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A1 B2 C. D2解析圆(x1)2y22的圆心坐标为(1,0
4、)，由yx3得xy30，则圆心到直线的距离d.答案C3(2017郑州调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A2 B3C2或3 D2或3解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选C.答案C4(必修2P76练习2(2)改编)直线2x2y10，xy20之间的距离是_解析先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.答案5已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.解析由题意知 1，所以m42m，所以m1.答案1考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于
5、()A1 B2 C0或2 D1或2(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_.解析(1)若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线平行，则有，解得a1或2.(2)因为l1l2，所以k1k21.即(1)1，解得a2.答案(1)D(2)2规律方法(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论【训练1】 (1)(2017
6、安康检测)若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为()A. B.C. D.(2)(2017西安模拟)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50平行，则2a3b的最小值为_解析(1)由已知得3(a1)a0，解得a.(2)由两直线平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)1313225，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.答案(1)D(2)25考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_(2)直线l过点P(1,2)且到
7、点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_解析(1)法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA，kPB.k.(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y
8、50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.答案(1)(2)x3y50或x1规律方法(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等【训练2】 (1)曲线y2xx3在横坐标为1的点处的
9、切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为()A. B. C. D.(2)(2017河北省“五个一名校联盟”质检)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A. B. C. D.解析(1)曲线y2xx3上横坐标为1的点的纵坐标为1，故切点坐标为(1，1)切线斜率为ky|x123(1)21，故切线l的方程为y(1)1x(1)，整理得xy20.由点到直线的距离公式，得点P(3,2)到直线l的距离为.(2)因为l1l2，所以，所以解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2之间的距离d，故选B.答案(1)A(2)B考点三对称问题【例3】 已知直线
10、l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，再由已知解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a，b)，则解得M.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.(3)法一在l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为
11、2x3y90.法二设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.规律方法(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上【训练3】 光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方
12、程解法一由得反射点M的坐标为(1,2)又取直线x2y50上一点P(5，0)，设P关于直线l的对称点P(x0，y0)，由PPl可知，kPP.而PP的中点Q的坐标为，又Q点在l上，3270.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.法二设直线x2y50上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P(x，y)，则，又PP的中点Q在l上，3270，由可得P点的横、纵坐标分别为x0，y0，代入方程x2y50中，化简得29x2y330，所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.思想方法1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，
13、l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法解决问题易错防范1在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑2在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D不能确定解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率为k2，则k1k2，且k1k21.
14、故选C.答案C2(2017上饶模拟)“a1”是“直线ax3y30和直线x(a2)y10平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析依题意得，直线ax3y30和直线x(a2)y10平行的充要条件是解得a1，因此选C.答案C3过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为()A19x9y0 B9x19y0C19x3y0 D3x19y0解析法一由得则所求直线方程为：yxx，即3x19y0.法二设直线方程为x3y4(2xy5)0，即(12)x(3)y450，又直线过点(0,0)，所以(12)0(3)0450，解得，故所求直线方程为3x19y0
15、.答案D4直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10Cx2y30 Dx2y30解析设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x1的对称点(2x，y)在直线x2y10上，即2x2y10，化简得x2y30.答案D5(2017安庆模拟)若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为，则m()A7 B. C14 D17解析直线l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为，所以，求得m，故选B.答案B6平面直角坐标系中直线y2x1关于点(1,1)对称的直线方程是()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x3解析在直线y
16、2x1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点为N(1，1)由两点式求出对称直线MN的方程为，即y2x3，故选D.答案D7(2017成都调研)已知直线l1过点(2,0)且倾斜角为30，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()A(3，) B(2，)C(1，) D.解析直线l1的斜率为k1tan 30，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2，所以直线l1的方程为y(x2)，直线l2的方程为y(x2)两式联立，解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)故选C.答案C8从点(2,3)射出的光线
17、沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()Ax2y40 B2xy10Cx6y160 D6xy80解析由直线与向量a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知A正确答案A二、填空题9点(2,1)关于直线xy10的对称点为_解析设对称点为(x0，y0)，则解得故所求对称点为(0,3)答案(0,3)10若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_解析由得点(1,2)满足方程mx2y50，即m
18、12250，m9.答案911(2017沈阳检测)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2，2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_解析显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.答案2x3y180或2xy2012(2016长沙一调)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所
19、以所求直线的方程为，即6xy60.答案6xy60能力提升题组(建议用时：15分钟)13(2017洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2的值为()A. B.C5 D10解析由题意知P(0,1)，Q(3,0)，过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay30垂直，M位于以PQ为直径的圆上，|PQ|，|MP|2|MQ|2|PQ|210，故选D.答案D14.如图所示，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A
20、2 B6C3 D2解析易得AB所在的直线方程为xy4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(2,0)，则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(2,0)两点间的距离于是|A1A2|2.答案A15设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，即APB为直角三角形，|PA|PB|5.当且仅当|PA|PB|时，等号成立答案516在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_解析设平面上任一点M，因为|MA|MC|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|MD|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|MC|MB|MD|最小，则点M为所求kAC2，直线AC的方程为y22(x1)，即2xy0.又kBD1，直线BD的方程为y5(x1)，即xy60.由得解得所以M(2,4)答案(2,4)特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
