1、高手支招3综合探究1.综合法和分析法 综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法,其简捷之处就在于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题.当然,要想运用定理、不等式,必须具备相应的条件,另外,在证题过程中,要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析,制定出合理的解题策略,并加以实施. 分析法是证明不等式的一种常用的方法,通常情况下,当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时,可以采用这一方法.这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效.2.用“分析综合法”证明问题 既然是分析综合法,所以既有分析法又有综合法,两者应有机地结合起来.“分析综合法”又叫混合型分析法,
2、是同时从已知条件与结论出发,寻求其间的联系而沟通思路的方法.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中途结果;另一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯到中间,即导出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.由于其兼有分析综合的双重性质,因而称为“分析综合法”,其方法结构如图所示.高手支招4典例精析【例1】设a0,b0,a+b=1.求证:+8.思路分析：要证不等式是在已知条件下,从不等式的结构及其与已知条件间的关系来观察,可用综合法证之.证明：a0,b0,a+b=1,1=a+b2,4.+=(a+b)(+)+22+4=8,+8.【例2】已知、k+(kZ),且sin+
3、cos=2sin,sincos=sin2.求证:.思路分析：比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角,所以首先要消去它.然后由式子的结构特点,将切化弦统一函数名后分析比较不难得到结论.证明：因为(sin+cos)2-2sincos=1,将已知代入上式得:4sin2-2sin2=1.另一方面,要证,即证,即证cos2-sin2=(cos2-sin2),即证1-2sin2=(1-2sin2),即证4sin2-2sin2=1.由于上式与式相同,于是问题得证.【例3】 已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2.思路分析：可由条件x+y+z=1,联想到通过直接对所要证明的结论左边的代数式的变式,再利用
4、条件x+y+z=1,得到结果.若不能发现本题的特点,可以利用分析法来加以证明.证法一(综合法):x2+y2+z2=3(x2+y2+z2)=x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)=(x+y+z)2=,x2+y2+z2.证法二(分析法):x+y+z=1,为了证明x2+y2+z2,只需证明3x2+3y2+3z2(x+y+z)2,即3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx,即2x2+2y2+2z22xy+2yz+2zx,即(x2-2xy+y2)+(y2-2xy+z2)+(z2-2zx+x2)0,即(x-y)2+
5、(y-z)2+(z-x)20.(x-y)2+(y-z)2+(z-x)20成立,x2+y2+z2成立.【例4】已知正方形ABCD,E、F分别是AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示.记二面角A-DE-C的大小为(0).(1)证明BF平面ADE;(2)若ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的余弦值.思路分析：本题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.(1)解：证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点,EBFD,且EB=FD.四边形EBFD是平行四边形.BFED.ED平面AED,而BF平面A
6、ED.BF平面AED.(2)解法一:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG平面BCDE,垂足为G,连结GC、GD.ACD为正三角形,AC=AD.GC=GD.G在CD的垂直平分线上.又EF是CD的垂直平分线,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GHED,垂足为H.连结AH,则AHDE,AHG是二面角A-DE-C的平面角,即AHG=.设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF.在折后图的AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,AEF为直角三角形,AGEF=AEAF.AG=a.在RtADE中,AHDE=ADAE.AH=.GH=.cos=.解法二:点A在平面BCDE内的射影G
7、在直线EF上,连结AF,在平面AEF内过点A作AGEF,垂足为G.ACD为正三角形,F为CD的中点.AFCD.又EFCD,CD平面AEF.AG平面AEF,CDAG.又AGEF,且CDEF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE.AG平面BCDE.G为A在平面BCDE内的射影G.点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GHED,垂足为H,连结AH,则AHDE.AHG是二面角A-DE-C的平面角,即AHG=.设原正方形ABCD的边长为2a,在折后图的AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,AEF为直角三角形,AGEF=AEAF.AG=a.在RtADE中,AHDE=ADAE,AH=.GH=.
8、cos=.解法三:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.连结AF，在平面AEF内过点A作AGEF,垂足为G.ACD为正三角形,F为CD的中点,AFCD.又EFCD,CD平面AEF.CD平面BCDE,平面AEF平面BCDE.又平面AEF平面BCDE=EF,AGEF,AG平面BCDE,即G为A在平面BCDE内的射影G.点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GHDE,垂足为H,连结AH,则AHDE.AHG是二面角A-DE-C的平面角,即AHG=.设原正方形ABCD的边长为2a.在折后图的AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,AEF为直角三角形,AGEF=AEAF.AG=a.在RtAD
9、E中,AHDE=ADAE.AH=.GH=.cos=.【例5】如图1,已知AP是O的切线,P为切点,AC是O的割线,与O交于B、C两点,圆心O在PAC的内部,点M是BC的中点. 图1 图2(1)证明A,P,O,M四点共圆;(2)求OAM+APM的大小.思路分析：利用四点共圆的判定定理即四边形对角互补,可证明出四点共圆,再利用圆中同弧所对角相等,找到角的相等关系,即可求得结果.(1)证明:如图2，连结OP,OM，因为AP与O相切于点P,所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点,所以OMBC.于是OPA+OMA=180,由圆心O在PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆.
10、(2)解:由(1)得A,P,O,M四点共圆,所以OAM=OPM.由(1)得OPAP.由圆心O在PAC的内部,可知OPM+APM=90.所以OAM+APM=90.高手支招5思考发现1.用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式,但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质,要保证不等号的方向始终如一.2.综合法是“由因导果”,分析法则是“执果索因”,这两种方法是对应统一的.解题时往往是综合法和分析法联合使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.3.在分析法证
11、明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.4.分析法是从结论出发,不断探寻,直到判定一个明显成立的条件.应用分析法,容易找到解题途径,但叙述较繁琐,不及综合法简明,这是它的缺点.5.分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛.
