1、第二节等差数列一、教材概念结论性质重现1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列等差数列的定义用递推公式表示为an1and(nN*，d为常数)2等差数列的通项公式(1)若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是ana1(n1)d.(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是anak(nk)d.当d0时，等差数列通项公式可以看成关于n的一次函数andn(a1d)3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项，且2Aab.4等差数列的常用性质(1)通项公式的推
2、广公式：anam(nm)d(n，mN*)d(nm)(2)若an为等差数列，且mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，wN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列5等差数列的前n项和公式及其性质(1)设等差数列an的公差为d，其前n项和Snna1d.(2)等差数列an的前n项和为Sn，数列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN*)也是等差数列，公差为m2d.(3)等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，若a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值(
3、4)若等差数列an的项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)S偶S奇nd，.(5)若等差数列an的项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an1.数列an是等差数列数列的前n项和公式Snn2nSnAn2Bn(A，B为常数)，所以当d0时，等差数列前n项和公式可以看成关于n的二次函数，且常数项为0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(4)已知数列an的通项公式是anp
4、nq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(5)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数()2在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项的和S11等于()A58B88C143D176B解析：S1188.3设数列an是等差数列，其前n项和为Sn.若a62且S530，则S8等于()A31B32C33D34B解析：由已知可得解得所以S88a1d32.4若等差数列an满足a7a8a90，a7a10.(1)证明：因为an1，所以，化简得2，即2.故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)解：由(1)知2n1，所以Snn2，.证明：1.本例条件变为“若a11，a2，(nN*)”，
5、求数列an的通项公式解：由已知式可得，知数列是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.(3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项设cnbb，nN*, 求证：数列cn是等差数列证明：由题意得banan1，有cnbban1an2anan12dan1，因此cn1
6、cn2d(an2an1)2d2，所以数列cn是等差数列考点3等差数列性质的应用应用性考向1等差数列项的性质问题(1)(2020宁德二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2a5a89，则S9()A21B27C30D36B解析：因为等差数列an的前n项和为Sn，且a2a5a893a5，所以a53，则S99a527.(2)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2 C4D8C解析：(方法一)设等差数列an的公差为d，依题意解得d4.(方法二)等差数列an中，S648，则a1a616a2a5.又a4a524，所以a4a22d24168，所以d4.等差数列项
7、的性质的关注点(1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq；(2)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质；(3)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn相结合命题考向2等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于()A35B42 C49D63B解析：在等差数列an中，S5，S10S5，S15S10成等差数列，即7,14，S1521成等差数列，所以7(S1521)214，解得S1542.(2)已知Sn是等差数列an的前n项和若a12 018，6，则S2 020_.2 020解析：由等差
8、数列的性质可得数列也为等差数列设其公差为d，则6d6，所以d1.故2 019d2 0182 0191，所以S2 02012 0202 020.等差数列前n项和的性质在等差数列an中，Sn为其前n项和，则：(1)Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列；(2)S2nn(a1a2n)n(anan1)；(3)S2n1(2n1)an.1已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，2a5a6a3，则S7()A2B7 C14D28C解析：因为2a5a6a3，所以2a4da42da4d，解得a42.所以S77a414.2(2020海南模拟)已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则()AB
9、CDA解析：因为等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，所以可设Snkn(n5)，Tnkn(2n1)，k0.所以a7S7S618k，b6T6T521k，所以.3设Sn是等差数列an的前n项和，S1016，S100S9024，则S100_.200解析：依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S1016，S100S9024，因此S100S902416(101)d169d，解得d，因此S10010S10d1016200.考点4等差数列前n项和的最值应用性等差数列an中，已知a50，a4a70，则an的前n项和Sn的最大值为()AS
10、4BS5CS6DS7B解析：因为所以所以Sn的最大值为S5.1本例若把条件改为“等差数列an中，S5S8”，则下列结论错误的是()AdS5 DS6，S7均为Sn中的最大值C解析：由S5S6得a1a2a3a50.又因为S6S7，所以a1a2a6a1a2a6a7，所以a70，故B正确同理由S7S8，得a80.所以da8a7S5，即a6a7a8a90，可得2(a7a8)0.由结论a70，a80，显然C选项是错误的因为S5S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确2本例条件变为“等差数列an的前n项和为Sn.若S130，S140，S140，a1a14a7a80，a80，d0时，满足的项数m使得Sn
11、取得最大值为Sm.当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.等差数列an中，若0时，n的最小值为()A14B15C16D17C解析：因为数列an是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，所以公差d0，首项a10，an为递增数列因为1，所以a8a90，由等差数列的性质知，2a8a1a150.因为Sn，所以当Sn0时，n的最小值为16. 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15.求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值四字程序读想算思n取何值时，Sn取得最大值1.Sn的表达式；2.求最值的方法1.求通项公式an；2.求前n项和Sn转化与化归等差数列，a120，S1
12、0S151.利用等差数列的项的符号；2.利用二次函数的性质1.ann；2.Snn2n1.数列的单调性；2.二次函数的性质思路参考：先求出公差d，再由an确定Sn取得最大值时n的值解：因为a120，S10S15，所以1020d1520d，所以d.由an20(n1)n.因为a1200，d0，所以数列an是递减数列由ann0，得n13，即a130.当n12时，an0；当n14时，an0.所以当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S131220130.思路参考：先求出公差d，再由Sn的表达式确定其最大值解：因为a120，S10S15，所以1020d1520d，所以d.Sn20nn2n.因为
13、nN*，所以当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.思路参考：利用等差数列的性质求解解：由S10S15得S15 S10a11a12a13a14a150，所以5a130，即a130.又d，所以当n12或13时，Sn有最大值所以S121220130.思路参考：结合二次函数知识解答解：因为等差数列an的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10S15，所以1020d1520d，所以d.又12.5，所以n12或13时，Sn取得最大值所以S121220130.1基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养
14、，试题的解答过程展现了数学文化的魅力2基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？解：(方法一)由S3S11，得3a1d11a1d，则da1.从而Snn2n(n7)2a1.又a10，所以0.故当n7时，Sn最大(方法二)由于Snan2bn是关于n的二次函数，由S3S11，可知Snan2bn的图象关于n7对称由方法一可知a0，故当n7时，Sn最大(方法三)由方法一可知，da1.要使Sn最大，则有即解得6.5n7.5，故当n7时，Sn最大(方法四)由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80.又由a10，S3S11可知d0，所以a70，a80，所以当n7时，Sn最大
