1、宁夏吴忠市青铜峡市高级中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）考试时间：120分钟一、单选题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知是实数集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合、 ，再进行补集和交集运算.【详解】，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于基础题.2. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式列出不等式组解出即可.【详解】要使函数有意义，需满足，解得，故选：B.【点睛】本题主要考查了具体函数定义域的求法
2、，属于基础题.3. 已知 ，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：可化简为，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.4. 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报
3、纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸（ ）A. 215 份B. 350 份C. 400 份D. 250 份【答案】C【解析】【分析】设每天从报社买进份报纸时，根据题意求得函数的解析式，结合一次函数的性质，即可求解【详解】设每天从报社买进（，）份报纸时，每月所获利润为元，具体情况如下表数量/份单价/元金额/元买进2卖出3退回则推销员每月所获得的利润又由在上单调递增，所以当时，取得最大值8700故选C即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元故选C【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，结合一
4、次函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题5. 已知函数，则，的大小关系 为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导，得在上递增，且，代入即可得答案.【详解】函数，则，在上递增， ，即.故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及应用，指数运算和对数运算，属于基础题.6. 已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，求解即可.【详解】f(x)为偶函数，f(x)f(|x|)则f(|2x1|)f.又
5、f(x)在0，)上单调递增，|2x1|，解得x.故选：.【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.7. 函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，故，故排除A、D，故选B.考点：函数的图象.8. 已知是定义在上的函数，且满足，当时，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件确定周期，再根据周期以及函数解析式求结果.【详解】故选：D【点睛】本题考查函数周期、求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.9. 已知定义域为的函数是奇函数，则不等式解集为（ ）A. B
6、. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据函数是奇函数求的值，再判断函数的单调性，利用函数的性质解抽象不等式.【详解】若函数是奇函数，则， ，所以， ，当时，所以函数是单调递减函数，即，解得: ,解集是.故选：A【点睛】本题考查函数的单调性，奇偶性，解抽象不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.10. 记表示不超过的最大整数，如，设函数，若方程有且仅有个实数根，则正实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得：方程，所以方程有且仅有个实数根，即有且仅有个实数根，即函数和函数的图象有三个不同的交点，分别作出两函数的图象，如图所示，
7、要使得函数和函数的图象有三个不同的交点，则，解得，故选B. 考点：方程的根的个数的判断与函数的应用考点：方程根的个数的判断.【点晴】本题主要考查了方程的根的个数以及的应用，其中解答中涉及到取整函数的性质和对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了数形结合思想和学生的分析问题和解答问题的能力，其中解答中把方程有且仅有个实数根，转化为函数和函数的图象有三个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题11. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要使函数是减函数，须满足 求不等式组解即可.【详解】若函数在上单调递减，则得，故
8、选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.12. 若满足对任意的实数、都有且，则（ ）A. 1008B. 2018C. 2014D. 1009【答案】B【解析】【分析】本题首先可根据得出，然后用同样的方式得出、以及，从而得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为对任意的实数、，都有，且，所以，即，同理，即；，即；，即；故，则，故选：B.【点睛】本题主要考查抽象函数运算，考查分析、思考与解决问题的能力，考查探究规律的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数的单调增区间是_.【答案】【解析】【分析】求得函数的
9、定义域为，令，利用二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数满足，解得或，即函数的定义域为，令，则函数在单调递减，在区间单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.故答案为.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14. 若，则_.【答案】【解析】【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可.【详解】解：因为，所以故答案为：7【点睛】此题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，属于基础题.1
10、5. 设命题：函数在上是减函数；命题，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】【分析】由二次函数的性质，求得；根据对数函数的性质，求得，再由题意，得到与同真同假，列出不等式组，即可求解.【详解】由命题：函数在上是减函数,所以，解得；命题，则，即，则，解得，若是真命题，是假命题，所以与一真一假，即与同真同假，所以 或，解得或则实数的取值范围是或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的解法，以及简易逻辑的判定方法等知识点的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.16. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，则_【答案】【解析】【分析】根据定义在上
11、的奇函数：，解出,由知道函数关于对称，结合奇函数得到函数为以为周期的周期函数.利用周期性化简解出.【详解】因为为定义在上的奇函数.所以即，又，即函数关于对称,又关于原点对称,所以函数为以为周期的周期函数.所以故答案为:.【点睛】本题考查函数的周期性，属于中档题.解本题的关键在于能够利用轴对称与点对称得到函数的周期性.三、解答题:共70分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围；（3）求不等式的解集.【答案】（1）
12、2；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用，即可求出的值.（2）画出图形，观察图像即可建立不等式求解.（3）由可得，然后分和两种情况讨论，每种情况结合图像即可得到答案.【详解】（1）设，则，所以，是奇函数，（2）的图象如图 函数在区间上单调递增，.（3）由可得，即，当时，由图像可得：，当时，由图像可得：，综上：【点睛】本题主要考查了分段函数的奇偶性，单调性的综合运用，属于基础题.18. 已知函数（1）若在上是增函数，求的取值范围；（2）若，求函数在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二次函数的单调性即可求出的取值范围；（2）分，两种情况讨论函数在区间上的最大值
13、.【详解】（1）因为，且在上是增函数，所以；（2）若，结合图象，可知：当时，即，当时，即，.【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，最值问题的求解，考查了分类讨论与数形结合的思想.19. 已知.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若实数满足，求实数取值范围；【答案】（1）为奇函数；（2）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义判断函数的奇偶性；（2）根据对数运算以及函数的奇偶性，转化为，再根据函数的单调性解不等式.【详解】（1）函数的定义域为，所以函数是奇函数.（2），根据复合函数单调性可知函数单调递增，函数又是奇函数， ，是单调递增函数，解得：【点睛】本题考查判断函数的奇偶性，单调性，
14、利用函数的性质解抽象不等式，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.20. 已知函数（，且），且.（1）求的值，并写出函数的定义域；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），函数的定义域；（2）.【解析】【分析】（1）利用即可求出的值，由对数函数的定义域可以求出的定义域；（2）利用在单调递增，原不等式等价于对任意恒成立，分离得，利用导数求最值即可.【详解】（1）由得，解得：，的定义域，（2）在单调递增，由可得：对任意恒成立，对任意恒成立等价于对任意恒成立，设，则，令，因，所以，所以在上是减函数，所以 ，所以，由对任意恒成立，得，解得，所以，综上所述：实数的取值范围是.【点
15、睛】本题主要考查了对数函数的性质，利用函数的单调性解不等式，属于中档题.21. 已知.(1)讨论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.【解析】【详解】试题分析：（）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,当时,因此a的取值范围是.试题解析：（）的定义域为,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.（）由（）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,于是,当时,当时,因此a的取值范围是.考点：
16、本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为（1）求曲线的直角坐标方程;（2）设曲线与直线交于点，点的坐标为，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将两边同时乘以，再利用，即可得直角坐标方程；（2）联立直线与联立，利用参数的几何意义和根与系数的关系即可求解.【详解】（1）将两边同时乘以得：，将代入得：，即（2）设两点对应的参数、，将代入，得：，即，所以 ，.【点睛】本题考查了极坐标
17、方程与直角方程的转化，参数方程几何意义与应用，属于基础题.23. 设函数（1）解不等式；（2）若对一切实数均成立，求实数的取值范围【答案】（1）或 ；（2）【解析】【分析】（1）方法一：根据绝对值不等式的意义解不等式；方法二：将不等式变形为，两端平方整理成关于的一元二次不等式，求解即可；（2）利用绝对值不等式，可得【详解】（1）解法一：当时，解得；当时,，解得；当时，解得，综上,原不等式的解集为或 ； 解法二：，两边平方整理得，解得或，所以，原不等式的解集为或； （2），当时等号成立，所以 故实数的取值范围为【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及利用绝对值不等式求参数的取值范围，属于高考常考题型.- 18 -
