1、专题突破练(一)函数与导数中的高考热点问题(对应学生用书第231页)1已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上单调递减，
2、在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)1b，所以存在x1(2b,0)，x2(0,2b)，使得f(x1)f(x2)b.由于函数f(x)在区间(，0)和(0，)上均单调，所以当b1时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)2设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.解(1)由f(x)ex2x2a
3、，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)22ln 22a故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)证明：设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意
4、x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故当aln 21且x0时，exx22ax1.3(2018兰州模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)f(1)xxln x.(1)求函数f(x)的极值；(2)若kZ，且f(x)k(x1)对任意的x(1，)都成立，求k的最大值. 【导学号：79140098】解(1)f(x)f(1)1ln x(x0)，所以f(1)f(1)1，即f(1)2，所以f(x)xxln x，f(x)2ln x，令f(x)2ln x0，解得0xe2，即当x(0，e2)时，f(x)0，当x(e2，)时，f(x)0
5、，所以函数f(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，所以函数f(x)在xe2处取得极小值f(e2)e2，没有极大值(2)由(1)及题意，知k对任意的x(1，)都成立，令g(x)(x1)，则g(x)，令h(x)xln x2(x1)，则h(x)10，所以函数h(x)在(1，)上为增函数，因为h(3)1ln 30，h(4)2ln 40，所以方程h(x)0存在唯一实根x0，即ln x0x02，x0(3,4)所以当1xx0时，h(x)0，即g(x)0，当xx0时，h(x)0，即g(x)0，所以函数g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以g(x)ming(x0)x0，
6、所以kg(x)minx0，x0(3,4)，又因为kZ，故k的最大值为3.4(2017山东高考)已知函数f(x)x3ax2，aR.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cos xsin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解(1)由题意f(x)x2ax，所以当a2时，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此，曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(
7、xa)sin x(xa)(xsin x)令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在R上单调递增因为h(0)0，所以当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a,0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增所以当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sin a；当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.当a0时，g(x)x(xsin x)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a.综上所述：当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin a.
