1、河北省衡水中学2020届高三数学卫冕联考试题 理（含解析）一选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则在复平面内复数对应的点所在的曲线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘除运算求出，得到对应点的坐标，代入方程即可求解.【详解】由，得，所以对应点，其满足方程.故选：C.【点睛】本题考查了复数得四则运算、复数的坐标表示，考查了基本运算能力，属于基础题.2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由绝对值的意义，可知，求得，根据偶次根式有意义的条件，可求得，根据集合
2、交集的定义求得结果.【详解】由可得，解得，所以，由可以求得，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于基础题目.3. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合对数函数的性质判断，的取值范围，结合指数函数的性质可求出的取值范围，即可选出正确答案.【详解】解：因为，所以； ，因为，所以，即，所以，故选: D.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，属于基础题.4. 如图所示是2018年11月份至2019年10月份的居民消费价格指数()与工业品出厂价格指数()的曲线图，从图中得出下面四种说法：指数比相应
3、时期的指数值要大；2019年10月份与之差最大；2018年11月至2019年10月方差大于的方差2018年11月份到2019年10月份的的中位数大于0.则说法正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的图，观察曲线的形状，以及对应的走向，分析可得结果.【详解】因为消费价格指数()曲线在工业品出厂价格指数()曲线的上方，所以指数比相应时期的指数值要大，所以正确；由图可知，2019年10月份最大，值最小，所以其差最大，所以正确；2018年11月至2019年10月较平稳，的波动性更大，所以2018年11月至2019年10月的方差小于的方差，所以错误；20
4、18年11月份到2019年10月份的的值有5个正的，4个负数，三个0，所以中位数为0，所以错误；所以正确的命题为两个，故选：B.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有曲线图的应用，属于简单题目.5. 我国经典数学名著九章算术中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）A. 6钱B. 7钱C. 8钱D. 9钱【答案】C【解析】【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得
5、，由，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为，所以，即，即，因为，所以，根据选项，所以买大竹子根，每根元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.6. 如图所示的中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，根据向量的线性运算法则，求得，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，设，因为，可得，又由所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，注重考查推理与运算能力
6、.7. 与函数的部分图象最符合的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析出函数的定义域、奇偶性、在上的函数值符号，由此可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，排除A选项；，函数为奇函数，排除C选项；令，当时，则，当时，由上可知，当时，排除D选项.故选：B.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般分析函数定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变
7、量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得：故选：C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于中档题9. 2020年4月20日重庆市高三年级迎来了疫情后的开学工作，某校当天为做好疫情防护工作，安排甲、乙、丙、丁四名老师在校门口的三个点为到校学生进行检测及其它相关的服务工作，要求每个点至少安排一位老师，且每位老师恰好选择其中一个点，记不同的安排方法数为，则满足不等式的最小正整数的值为（ ）A 36B. 42C. 48D. 54【答案】A
8、【解析】【分析】根据分步原理即可知不同的安排方法数，再由解不等式即可求出的范围，进而得到最小正整数；【详解】由题意知：其中有一个点有两名老师；安排步骤：1、任选两位老师分配到一个点，另两位老师分别到另两个点，即分成三组，2、将三组任意安排到三个点；安排方法：，而知：且，解得：；故选：A【点睛】本题考查了分步计数原理以及求一元二次不等式的解集，由分步原理求出不同的安排方法数，结合已知不等式求参数范围，进而求值；10. 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】设直线方程为：，将直线方程与双曲线方程联立消，
9、根据，可得，利用韦达定理可得，整理即可求解.【详解】过右焦点的直线的倾斜角,不妨设直线方程为：，联立方程，得，设，因为，所以，所以 ，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了运算求解能力，属于中档题.11. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦型函数的单调增区间求得的单调增区间，由，解得，根据已知可得，且,计算可得结果.【详解】因为，令，即，所以函数的单调递增区间为，又因为函数在上单调递增，所以，得，且，又因为，所以，又在区间上有唯一的实数解
10、，所以，且，可得.综上，.故选：D.【点睛】本题考查正弦型函数的图象和性质，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题.12. 若函数，则满足恒成立的实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断是上的奇函数，利用导函数可判断是上的增函数，恒成立等价于，分离得，令，则，经过分析知是上的偶函数，只需求在上的最大值，进而求得的取值范围.【详解】因为，所以是上的奇函数，所以是上的增函数，等价于所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.当时，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即，故选：A【点睛】本题主要考查了函数
11、的奇偶性和单调性，考查导数研究函数单调性、最值以及恒成立问题，属于较难题.二填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知实数，满足不等式组，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形，确定出目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点时，此时在轴上的截距最小，此时目标函数最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划求最值问题，其中解答中正确画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合思想的
12、应用，属于基础题.14. 已知等差数列中，数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求出，从而求出，再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由题意，解得，所以，所以，则.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.15. 已知点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为_.【答案】【解析】【分析】求出，设过点的直线方程为，将直线与抛物线联立，利用韦达定理可得，根据向量可得，从而求出直线的倾斜角，即求.【详解】因为点在抛物线：上，所以，得，所以，设过点的直线方程为：，所以 ，所以，设，所以，又因
13、为，所以，所以，因为直线的斜率，由，所以或，所以.故答案为：【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题.16. 已知三棱锥中，二面角的大小为，是边长为4的正三角形，是以为直角顶点的直角三角形，则三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】找到三棱锥外接球球心的位置，求得外接球的半径，进而求得三棱锥外接球的表面积.【详解】依题意，三角形是等边三角形，设其外心为，线段的中点设为，则，且在线段上、.三角形是以为直角顶点的直角三角形，所以其外心为.过在三角形内作.所以是二面角的平面角，所以.设外接球球心为，则平面，平面，所以、，所以.在三角形中，,所以外接球的半
14、径，所以外接球表面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，属于中档题.三解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知的内角，的对边分别为，.（1）若，且，求的值；（2）若，成等差数列，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及正弦定理计算可得；（2）根据等差中项的性质及正弦定理可得，再利用余弦定理及基本不等式得到，从而求出的最大值；【详解】解：（1）因为所以因为，所以，所以所以，所以（2）因为，成等差数列，所以，由正弦定理可得，由余弦定理可得因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以因为，所以所以的最大值为【点睛】本题考查正弦
15、定理、余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.18. 如图所示的斜三棱柱中，点在底面的投影为边的中点，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直判定定理可证得平面平面；（2）取的中点，连接，证明出平面，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的大小.【详解】（1）由于点在底面的投影为边的中点，则平面，平面，在中，则，平面，平面，平面平面；（2）取的中点，连接，、分别为、的中点，由（1）可知，平面，则平面.平面，平面，以点
16、为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，可得，易知平面的一个法向量为，则.因此，平面与平面所成的锐二面角的大小为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的大小，考查计算能力，属于中等题.19. 在我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为，只有当每个环节制作
17、都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品.（1）求该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率；（2）若该同学制作10次，其中合格作品数为，求的数学期望与方差；（3）该同学掌握技术后制作的小视频被某广告公司看中，聘其为公司做广告宣传，决定试用一段时间，每天制作小视频(注：每天可提供素材制作个数至多40个)，其中前7天制作合格作品数与时间如下表：(第天用数字表示)时间()1234567合格作品数()3434768其中合格作品数()与时间()具有线性相关关系，求关于的线性回归方程(精确到0.01)，并估算第14天能制作多少个合格作品(四舍五入取整)？(参考公式，参考数据：.)【答案】（1）；（
18、2），；（3），个.【解析】【分析】（1）根据题意可直接求出制作一次视频成功的概率，进而可以求出该同学进行三次制作，恰有一次合格作品的概率；（2）首先判断出，从而可以利用二项分布的期望与方差公式直接求出随机变量的数学期望与方差；（3）根据题干给出的公式直接计算 、 ，即可求出对应的回归方程，令，即可故算出第14天能制作13个合格作品.【详解】（1）由题意知：制作一次视频成功的概率为，所以该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率.（2）根据题意可得：，所以，（3）根据表格数据可计算出：，所以 ，所以，所以关于的线性回归方程为，令，得，即估计第14天能制作13个合格作品.【点睛】本题主要考查了事
19、件与概率、随机变量与分布列，及统计案例.20. 如图所示，椭圆的左右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且定直线方程为.【解析】【分析】（1）由题意可得出关于、的方程组，求得、的值，可求得的值，由此可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出交点的纵坐标，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程
20、为；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立，消去并整理得，由韦达定理得，.易知点、，直线的斜率为，直线的方程为，直线的斜率为，直线的方程为，由，可得，其中，解得.因此，点在定直线上.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了定直线的问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21. 已知函数.（1）当时，证明不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）将代入，求出，记，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值，即可.（2）将不等式转化为在恒成立，构造函数，根据单调性可得，只需恒成立，记，利用导
21、数求出即可.【详解】（1）当时，函数的定义域为 所以，记，所以，当时，单调递减，又因为，所以存在，使得，所以当时，即，当时，即，所以，又因为，所以，即，所以，即证.（2）不等式恒成立等价于在恒成立，即在恒成立，也就是在恒成立，构造函数，所以在单调递增，所以，即，记，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以，故实数的取值范围.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想，属于难题.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程及直线的直角坐标方程；（
22、2）设直线与曲线的交点分别为，点(异于，两点)在曲线上运动，求面积的最大值.【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程；利用极坐标方程和直角坐标方程转化公式，求得直线的直角坐标方程.（2）先求得，然后根据圆的几何性质求得到直线的距离的最大值，由此求得三角形面积的最大值.【详解】（1）曲线的参数方程为(为参数)，两式平方并相加得，即.直线的极坐标方程为，即，即，即.（2）圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，直线和圆相交.所以.根据圆的几何性质可知到直线的距离的最大值为.所以三角形面积的最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程、极坐标方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题.23. 已知不等式对恒成立.（1）求实数的取值范围；（2）记的最大值为，若，证明：.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设，从而可得，进而求出的取值范围；（2）由（1）可知，然后利用基本不等式可证明结论【详解】（1）解：设，所以，所以只需，解得，因为，所以，所以实数的取值范围为（2）证明：由（1）可知的最大值为2，即，所以，所以，所以，当且仅当时取等号【点睛】此题考查绝对值不等式，考查利用基本不等式证明不等式，考查计算能力，属于中档题
