1、选修4-1 几何证明选讲A组(供高考题型为填空题的省份使用)1如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则BE_.解析AC4，AD12，ACD90，CD2AD2AC2128，CD8.又AEBC，BD，ABEADC，BE4.答案42如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_解析如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得CEB90，CBE30，AOB60，故AOB为等边三角形，AD，ODBD1，DF，AFADDF.答案3如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa
2、，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF_.解析连接DE，由于E是AB的中点，故BE.又CD，ABDC，CBAB，四边形EBCD是矩形在RtADE中，ADa，F是AD的中点，故EF.答案4.如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若ACB120，则APB_.解析如图，连接OA，OB，PAOPBO90，ACB120，AOB120.又P，A，O，B四点共圆，故APB60.答案605如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PBOB2，PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD_.解析由切割线定理知，C2PAPB，解得PC2.连接OC，又OCPC，故
3、CD.答案6如图，点A、B、C都在O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB5，BC3，CD6，则线段AC的长为_解析由切割线定理，得CD2BDAD.因为CD6，AB5，则36BD(BD5)，即BD25BD360，即(BD9)(BD4)0，所以BD4.因为ABCD，所以ADCCDB，于是.所以ACBC3.答案7如图，在ABC中，C90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_解析由题意，得弦切角BCDA60，ACBD90，ABCCBD.，CD5.又CD与圆相切，CD2DEDB，则DE5.答案58如图，O的割线PBA过圆心O，弦CD交P
4、A于点F，且COFPDF，若PBOA2，则PF_.解析由相交弦定理可得BFAFDFCF，由COFPDF可得，即得DFCFPFOF.BFAFPFOF，即(PF2)(6PF)PF(4PF)，解得PF3.答案39如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若，则的值为_解析PP，PCBPAD，PCBPAD.，.答案10如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2，则BC_.解析C为BD中点，且ACBC，故ABD为等腰三角形ABAD6，AE4，DE2，又AC2AEAD4624，AC2，在ABC中，BC2.答案211如图
5、，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD_cm.解析如图，连接DC，则CDAB，RtADCRtACB.故，即，AD(cm)，BD5(cm)答案12如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA.若ADm，ACn，则AB_.解析直线PB与圆相切于点B，且PBADBA，ACBABPDBA，由此可得直线AB是BCD外接圆的切线且B是切点，则由切割线定理得AB2ADACmn，即得AB.答案13如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点
6、F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_解析由相交弦定理得AFFBEFFC，FC2.由AFCABD，可知，BD.由切割线定理得DB2DCDA，又DA4CD，4DC2DB2，DC.答案14如图所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF，AFFBBE421.若CE与圆相切，则线段CE的长为_解析设AF4k，BF2k，BEk，由DFFCAFBF，得28k2，即k.所以AF2，BF1，BE，AE.由切割线定理，得CE2BEEA，所以CE.答案15如图，点D在O的弦AB上移动，AB4，连接OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为_解析当OD的值最小时，DC
7、最大，易知D为AB的中点时，DBDC2最大答案2B组(供高考题型为解答题的省份使用)1如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：ABEADC；(2)若ABC的面积SADAE，求BAC的大小(1)证明由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)解因为ABEADC，所以，即ABACADAE.又SABACsinBAC，且SADAE，故ABACsinBACADAE.则sinBAC1，又BAC为三角形内角，所以BAC90.2(2014辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并
8、延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.证明(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA，又由于PGDEGA，故DBAEGA.所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90.故AB是直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而RtBDARtACB，于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角于是ED为直径由(1)得EDAB.3如
9、图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.(1)证明：OMOPOA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点过B点的切线交直线ON于K.证明：OKM90.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OAAM.又因为APOM，在RtOAM中，由射影定理知，OA2OMOP.(2)因为BK是圆O的切线，BNOK，同(1)，有OB2ONOK，又OBOA，所以OPOMONOK，即.又NOPMOK，所以ONPOMK，故OKMOPN90.4如图，已知在ABC中，ABAC，D是ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的
10、延长线平分CDE；(2)若BAC30，ABC中BC边上的高为2，求ABC外接圆的面积(1)证明如图，设F为AD延长线上一点A、B、C、D四点共圆，CDFABC.又ABAC，ABCACB，且ADBACB，ADBCDF.又EDFADB，故EDFCDF，即AD的延长线平分CDE.(2)解设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AHBC.连接OC，由题意OACOCA15，ACB75，OCH60.设圆半径为r，则rr2，得r2，ABC外接圆的面积为4.5如图，梯形ABCD内接于O，ADBC，过点C作O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2DEBC；(2)若BD9，AB6，
11、BC9，求切线PC的长ABCD，EDCBCD.又PC与O相切，ECDDBC.CDEBCD.CD2DEBC，即AB2DEBC.(2)解由(1)知，DE4，ADBC，PDEPBC，.又PBPD9，PD，PB.PC2PDPB.PC.6如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径(1)证明如图，连接DE，则DCBDEB，DBBE，DBCCBE90，DEBEDB90，DBCCBEDEBEDB，又CBEEBFEDB，DBCDEBDCB，DBDC.(2)解由(1)知：CBEEBFBCE，BDECDE，DE是BC的垂直平分线，设交点为H，则BH，OH，DH，tanBDE，BDE30，FBEBDE30，CBFBCF90，BFC90，BC是BCF的外接圆直径BCF的外接圆半径为.
