1、必考解答题模板成形练(四)实际应用题(建议用时:60分钟)1在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?解(1)设箱底边长为x,则箱高为h(0xa),箱子的容积为V(x)x2sin 60hax2x3(0xa)由V(x)axx20解得x10(舍),x2a,且当x时,V(x)0;当x时,V(x)0,所以函数V(x)在xa处取得极大值这个极大值就是函数V(x)的最大值:Va23a3.所以当箱子底边长为a时,箱子容积最大,最大值为a3.2如图,某小区有一边长为2(单位:百米)的正方
2、形地块OABC,其中OAE是一个游泳地,计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l(宽度不计),切点为M,并把该地块分为两部分,现以点O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边AE满足函数yx22(0x)的图象,且点M到边OA距离为t.(1)当t时,求直路l所在的直线方程;(2)当t为何值时,地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?解(1)M,l:12x9y220(2)M(t,t22),过切点M的切线l:y(t22)2t(xt)即y2txt22,令y2得x,故切线l与AB交于点;令y0,得x,又x在递减,所以x故切线l与OC交于点.地块OAB
3、C在切线l右上部分区域为直角梯形,面积S24t42,t1时取到等号,Smax2.3济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为k(k0)现已知相距36 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数;(2)若a1时,y在x6处取得最小值,试求b的值解(1)设点C受A污染源污染指数为,点C受B污染源污染指数为,其中k为比例系数,且k0.从而点C处污染指
4、数y(0x36)(2)因为a1,所以,y,yk,令y0,得x,当x时,函数单调递减;当x时,函数单调递增;当x时,函数取得最小值又此时x6,解得b25,经验证符合题意所以,污染源B的污染强度b的值为25.4某个公园有个池塘,其形状为直角ABC,C90,AB200米,BC100米(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在AB、BC、CA上取点D,E,F,如图(1),使得EFAB,EFED,在DEF喂食,求DEF面积SDEF的最大值;(2)现在准备新建造一个荷塘,分别在AB,BC,CA上取点D,E,F,如图(2),建造DEF连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使DEF为正三角形,求DEF边长的最小值解
5、(1)RtABC中,C90,AB200米,BC100米cos B,可得B60EFAB,CEFB60设(01),则CECB100米,RtCEF中,EF2CE200米,C到FE的距离dCE50米,C到AB的距离为BC50米,点D到EF的距离为h505050(1)米可得SDEFEFh5 000(1)米2(1)(1)2,当且仅当时等号成立,当时,即E为AB中点时,SDEF的最大值为1 250米2(2)设正DEF的边长为a,CEF,则CFasin ,AFasin .设EDB1,可得1180BDEB120DEB,18060DEB120DEBADF180601120在ADF中,即,化简得a2sin(120)sin a(其中是满足tan 的锐角)DEF边长最小值为米