1、2012年上海虹口区高考数学考前训练（四）班级姓名学号一、填空题：1若函数y=2x的定义域是=1，2，3，则该函数的值域是。2已知复数，若为实数，则的值为。3 最小正周期为，其中，则 。4抛物线的焦点到准线的距离是 。5已知底面边长为3的正三棱锥中，一条侧棱与底面所成的角为，则这个三棱锥的体积为。6若二项式的展开式共7项,则的值为_,展开式中的常数项为_.7由正数组成的等比数列中，则 ； .8ABC中，则ABC的面积等于_。9已知实数x，y满足的最小值为 。10若数列满足，则称数列为调和数列。已知数列为调和数列，且，则 。11已知向量满足，则向量在向量方向上的投影是。12给出以下四个命题：曲线
2、的焦点坐标是； 函数的图象的对称中心是；函数的最小值为2；函数的定义域是。则正确命题的序号是 。二、选择题：13已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是 ( )（A）或 （B）（C） （D）或 14把函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数是（ ）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数15设函数的反函数为，则 （ ）（A）在其定义域上是增函数且最大值为（B）在其定义域上是减函数且最小值为（C）在其定义域上是减函数且最大值为（D）在其定义域上是增函数且最小值为16函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式的解集为( )（A） （B）（C
3、） （D） 三、解答题：17如图，在直三棱柱中，为侧棱上一点，. （）求证：平面； （）求二面角的大小； （）求点到平面的距离。18某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任意选其中一条旅游线路.（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；（2）求恰有2条线路被选择的概率；（3）（理）求选择甲线路的旅游团个数的期望。19已知函数是定义在上的奇函数，其中、且 （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性， 并用单调性定义证明你的结论；（3）求函数的值域；20如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于A、B两个不同
4、点。（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求证直线与x轴始终围成一个等腰三角形。21已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。参考答案：12,4,8 2 310 4 5 6 6 , 607； 8 9 10分析：根据调和数列的定义，可以看出其倒数数列符合等差数列的定义，由此可以转化，利用等差数列的定义求出前项和。解：根据调和数列的定义知：数列为调和数列，则，也就是数列为等差数列，现在数列为调和数列，则数列
5、为等差数列，那么由，得，20答案：2011-1 12 13D 14B 15D 16A17证明：（）在直三棱柱中，易知面面， ，.2分 ,，,.4分解：（）设与的交点为，连结，由（）可知，且，所以为二面角的平面角. 5分在和中，. . . . 7分在中，.， . 在中，. ，故所求二面角的大小 为.9分 （）设点到平面的距离为，易知， 可知10分 11分 点到平面的距离为13分解法二：（）同解法一 4分（）如图以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，设. . 即，故， 所以. 6分设向量为平面的法向量，则， . 即 .令，则平面的一个法向量为8分显然向量是平面的一个法向量易知
6、，与所夹的角等于二面角的大小，故所求二面角的大小为. 9分（）所求距离为：即点到平面的距离为 13分1819解：由题意上是奇数， -3分又易得 -5分 -6分（2）在 内任取 令 -7分所以， 在上是单调递增的-11分（3）（解法一）由，令-14分的值域为 -16分（解法二）利用（2）的结论，也可.20解：（1）设椭圆方程为1分则3分椭圆方程为4分（2）直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又KOM=5分由6分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可9分设10分则由10分而故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.14分21
7、解：（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(
8、+18)1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a-(+18),当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSnb,且的取值范围是（b-18,-3a-18）.设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上 (1) 求数列的通项公式； (2) 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，），（，）；（），（，），(，），（，）；（），分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，求的取值范围21解：（1）因为点在函数的
9、图象上，故，所以令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以由此猜想：2分用数学归纳法证明如下： 当时，有上面的求解知，猜想成立 假设时猜想成立，即成立，则当时，注意到， 故，两式相减，得，所以由归纳假设得，故这说明时，猜想也成立由知，对一切，成立 5分另解：因为点在函数的图象上，故，所以 令，得，所以；1分时 时得2分令，即与比较可得，解得因此又，所以，从而5分（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），. 每一次循环记为一组
10、由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 又=22，所以=2010.8分（3）因为，故，所以又，故对一切都成立，就是对一切都成立9分设，则只需即可由于，所以，故是单调递减，于是令，12分即 ，解得，或综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是14分一个口袋内装有大小
11、相同且已编有不同号码的6个黑球和4个红球，某人一次从中摸出2个球。（1）如果摸到的球中含有红球就中奖，那么此人中奖的概率是多少？（2）（文）如果摸到的2个球都是红球，那么就中大奖，在没有放回的3次摸球中，此人恰好两次中大奖的概率是多少？（理）如果摸到的2个球都是红球，那么就中大奖，在有放回的3次摸球中，此人恰好两次中大奖的概率是多少？（3）（理）在（2）条件下，级为三次摸球中中大奖的次数，求的数学期望。解：（1）记“从袋中摸出的2个球中含有红球”为事件A则4分（2）记“从袋中摸出的2个球都是红球”为事件B 则6分3次摸球恰好有两次中大奖相当于作了3次独立重复实验则8分(3)中大奖的次数可能取的
12、值为0,1,2,3的数学期望为12分或E如图, 已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于两点，是中点. （）已知过圆心,求证:与垂直；（）当时，求直线的方程；（）设,试问是否为定值,若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由.解: () 由已知 , 又圆心,则 .故 . 所以直线与垂直. 3分 () 当直线与轴垂直时,易知符合题意; 4分当直线与轴不垂直时,设直线的方程为. 5分由于,所以由,解得. 7分故直线的方程为或. 8分 ()当与轴垂直时,易得,又则,故. 10分当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得.则,即,.又由得,则.故.综上,的值与直线的斜率无关,且. 14分另解一:连结,延长交于点,由()知.又于,故.于是有.由得故 14分另解二:连结并延长交直线于点,连结由()知又,所以四点都在以为直径的圆上,由相交弦定理得. 14分在四棱锥中，底面是边长为2的菱形， ，是的中点 ()证明：平面； ()（文）求异面直线所成的角；（理）求二面角的大小。解：（）取的中点，连结，.四边形为菱形,则3分.同理.故.6分BCDEPAHN（或用同一法可证）（）取的中点，过作于点，连结., 是二面角的平面角，9分可求得. 故二面角的大小为.12分
