1、考点1 线面垂直的判定与性质（2018北京卷（理）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，ABBC5，ACAA12.（1）求证：AC平面BEF；（2）求二面角BCDC1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交【解析】（1）证明在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以ACEF.又ABBC，所以ACBE，又BE，EF平面BEF，BEEFE，所以AC平面BEF.（2）由（1）知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，所以EF平面AB
2、C因为BE平面ABC，所以EFBE.如图，以E为原点，EA所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B（0,2,0），C（1,0,0），D（1,0,1），E（0,0,0），F（0,0,2），G（0,2,1）所以BC（1，2,0），BD（1，2,1）设平面BCD的法向量为n（x0，y0，z0），则nBC=0,nBD=0,即-x0-2y0=0,x0-2y0+z0=0.令y01，则x02，z04.于是n（2，1，4）又因为平面CC1D的法向量为EB（0,2,0），所以cosn，EBnEBnEB2121.由题意知二面角BCDC1为钝角，所以其余弦值为2
3、121.（3）证明由（2）知平面BCD的法向量为n（2，1，4），FG（0,2，1）因为nFG20（1）2（4）（1）20，所以直线FG与平面BCD相交【答案】见解析（2018浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.（1）证明：AB1平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【解析】方法一（1）证明由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，得AB1A1B122，所以A1B12AB12AA12，故AB1A1B1.由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC
4、，得B1C15.由ABBC2，ABC120，得AC23.由CC1AC，得AC113，所以AB12B1C12AC12，故AB1B1C1.又因为A1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，因此AB1平面A1B1C1.（2）如图，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接AD由AB1平面A1B1C1，得平面A1B1C1平面ABB1.由C1DA1B1，平面A1B1C1平面ABB1A1B1，C1D平面A1B1C1，得C1D平面ABB1.所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角由B1C15，A1B122，A1C121，得cosC1A1B1427，sinC1A1B177，所以C1D
5、3，故sinC1ADC1DAC13913.因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.方法二（1）证明如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A（0，3，0），B（1,0,0），A1（0，3，4），B1（1,0,2），C1（0，3，1）因此AB1（1，3，2），A1B1（1，3，2），A1C1（0,23，3）由AB1A1B10，得AB1A1B1.由AB1A1C10，得AB1A1C1.又A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1，所以AB1平面A1B1C1.（2）设直线AC1与平面ABB1所成
6、的角为.由（1）可知AC1（0,23，1），AB（1，3，0），BB1（0,0,2）设平面ABB1的一个法向量为n（x，y，z）由nAB=0,nBB1=0,得x+3y=0,2z=0,可取n（3，1,0）所以sin |cosAC1，n|AC1nAC1n3913.因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.【答案】见解析（2018全国卷（理）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值【解析】（1）证明因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以OPAC
7、，且OP23.如图，连接OB因为ABBC22AC，所以ABC为等腰直角三角形，所以OBAC，OB12AC2.由OP2OB2PB2知POOB因为OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面ABC，所以PO平面ABC（2）由（1）知OP，OB，OC两两垂直，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示由已知得O（0,0,0），B（2,0,0），A（0，2,0），C（0,2,0），P（0,0,23），AP（0,2,23）由（1）知平面PAC的一个法向量为OB（2,0,0）设M（a,2a,0）（0a2），则AM（a,4a,0）设平面PAM的法向量为n（x，y，z）由APn0，AMn0，得2y+23z=0,ax+4-ay=0,可取y3a，得平面PAM的一个法向量为n（3（a4），3a，a），所以cosOB，n23(a-4)23(a-4)2+3a2+a2 .由已知可得|cosOB，n|cos 3032，所以23a-423(a-4)2+3a2+a232，解得a4（舍去）或a43.所以n-833,433,-43.又PC（0,2，23），所以cosPC，n34.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.【答案】见解析
