1、竞赛专题讲座几个重要定理定理1正弦定理 ABC中，设外接圆半径为R，则证明概要如图1-1，图1-2过B作直径BA，则A=A，BCA=90，故 即； 同理可得 当A为钝角时，可考虑其补角，-A. 当A为直角时，sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。定理2余弦定理 ABC中，有关系 a2=b2+c2-2bccosA； （*） b2=c2+a2-2cacosB； c2=a2+b2-2abcosC；有时也用它的等价形式 a=ccosB+bcosC； b=acosC+ccosA； （*） c=acosB+bcosA. 证明简介 余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法如图建立复平面，则有 =（bco
2、sA-c2）+(bsin)2 即a2=b2+c2-2bccosA， 同理可证（*）中另外两式；至于*式，由图3显见。定理3梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截ABC的边BC，CA，AB或其延长线于D、E、F. 则 本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。 在FBD、CDE、AEF中，由正弦定理，分别有定理4塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）设O是ABC内任意一点，AB、BO、CO分别交对边于D、E、F，则证法简介（）本题可利用梅内劳斯定理证明：（）也可以利用面积关系证明 同理 得定理5塞瓦定理逆定理在ABC三边所在直线BC、CA、AB上各取一点D、E、F，若则A
3、D、BE、CE平行或共点。证法简介（）若ADBE（如图画5-1） 则代入已知式：于是 ，故 ADCF，从而ADBECF（）若AD、BE交于O（图5-2），则连CO交AB于F.据塞瓦定理，可得而已知 可见则 即即F，可见命题成立定理6斯特瓦尔特定理在ABC中，若D是BC上一点，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，则 证明简介： 在ABD和ABC中，由余弦定理，得 定理7托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆的充要条件是定理7、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接
4、圆上ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR 共点的充要条件是。例题：例11 设AD是ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：。【分析】CEF截ABD（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线例22、 过ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。求证：。【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。DEG截ABM（梅氏定理）DGF截ACM（梅氏定理）=1【评注】梅氏定理3D、E、F分别在ABC的BC、CA、AB边上，AD、BE、CF交成LMN。求SLMN。【分析】梅氏定理4以ABC各边为底边向外作相似的等腰B
5、CE、CAF、ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。【分析】塞瓦定理5 已知ABC中，B=2C。求证：AC2=AB2+ABBC。【分析】托勒密定理过A作BC的平行线交ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。6 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。求证：。【分析】托勒密定理7过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D两点，C在P, D之间. 在弦CD上取一点Q, 使求证：7 ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PEAB于E，延长ED交AC延长线于F。求证：BCEF=BFCE
6、+BECF。【分析】西姆松定理（西姆松线）8 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5）【分析】面积法GBACEFD353040例1 如图，G是ABC内一点AG，BG，CG的延长线分别交对边于D，E，F， AGF，BGF，BGD 的面积分别为40，30，35。求ABC的面积。例2，已知AC，CE是正六边行ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，且使。如果B，M，N三点共线，试求 k的值变式，已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，且使求证：B，M，
7、N三点共线。例3，如图，过ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB的延长线交于P，Q，R。求证：P，Q，R三点共线。例4。设AF，BE，CD分别是ABC的内角平分线，中线和高，且AC=b,AB=c,求证：AF，BE，CD三线共点的充要条件是cosA=例4，在凸四边形ABCD中，CAB=CAD，E和F分别是边CD，BC上的点，且满足CAF=CAE，求证：AC，BE，DF三线共点。变式：在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于G，延长DG交BC于F。求证：FAC=EAC。一、 圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作
8、割线交圆于C, D两点，C在P, D之间. 在弦CD上取一点Q, 使求证：证明如图，联结AB，在ADQ和ABC中，ADQ=ABC，DAQ=PBC=CAB，故ADQABC，而有，即.（10分）又由切割线定理知PCAPAD，故；同理由PCBPBD得.（20分）又因PA=PB，故，得.（30分）又由关于圆内接四边形的托勒密定理知.于是得，故.即（40分）在CBQ与ABD中，于是CBQABD，故，即得.(50分)二如图：ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。证明：(1)A、C、D、F四点共圆 BDFBAC 又OBC(180BOC)90BAC OBDF(2)CFMA MC 2MH 2AC 2AH 2 BENA NB 2NH 2AB 2AH 2 DABC BD 2CD 2BA 2AC 2 OBDF BN 2BD 2ON 2OD 2 OCDE CM 2CD 2OM 2OD 2 30分 ，得 NH 2MH 2ON 2OM 2 MO 2MH 2NO 2NH 2 OHMN 50分
