1、在数列当中,数列的通项和数列的求和是两个重要问题,只要研究数列,肯定离不开对这两个问题的讨论下面对此进行了简单的总结,如有不妥之处,敬请指教一、给出前几项写出通项公式例1已知一个数列1,0,3,0,5,0,求通项公式解:二、等差数列、等比数列求通项公式例2(1)等差数列中,已知,求;(2)等比数列中,求解:(1)由题,得,所以(2)由得,三、由前项和求通项公式1数列的前n项和:2与的关系:3利用与的关系解题:例3已知的前n项和分别为,求数列的通项公式解:(1)当时, ; 当时, (2)当时,; 当时, 又, 若时,符合时的式子,则要把合并成一个式子例4已知数列的前n项和满足关系式求的通项公式解
2、:由条件知:当时,当时,小结:对于通项公式:(1)不是所有数列都有通项公式;(2)同一个数列,通项公式可能不唯一;(3)仅由前几项可以归纳出无数个通项公式;(4)对某些数列,通项公式可以用分段函数表达注意:(1)讨论和 (2)验证是否符合时的解析式例5设数列前项之和为,若,且,问:数列成等比数列吗?解:,即,故,成等比数列 又 不成等比数列,但当时成,即:例6设数列知数列的前项和为,若首项,且满足,求通项公式解:当时,代入已知等式得:,将式两边同除以得:所以数列是以为首项,3为公差的等差数列,即()当时,例7(2006年全国)22设数列的前项的和,()求首项与通项;()设,证明:解(I):由已知得:,当时,整理是首项为,公比为4的等比数列,即,证明(II):由(I)得:,例8(2006年安徽21)数列的前项和为,已知,写出与的递推关系式,并求关于的表达式解:由得:,即,所以,对成立由,上式相加得:又,所以,当时,也成立例9已知数列的前项和为,(,且)(1)求证:数列是等比数列;(2)若,求数列的前项和为;(3)若(),且数列中的每一项总小于它后面的项,求实数的取值范围解:(1)由,且得:即(,且),数列是以为首项,以公比的等比数列(2)由(1)知,(3),由题意知,恒成立即对任意恒成立,若,则,且,对任意恒成立,解得,;若,则不题意;若,则,对任意恒成立,解得,综上,或