1、2.5指数与指数函数1分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()44.()(2)(1)(1).()(3)函数yax是R上的增函数()(4)函数y(a1)
2、的值域是(0，)()(5)函数y2x1是指数函数()(6)函数y()1x的值域是(0，)()1若a(2)1，b(2)1，则(a1)2(b1)2的值是()A1 B. C. D.答案D解析a(2)12，b(2)12，(a1)2(b1)2(3)2(3)2.2设函数f(x)a|x|(a0，且a1)，f(2)4，则()Af(2)f(1) Bf(1)f(2)Cf(1)f(2) Df(2)f(2)答案A解析f(x)a|x|(a0，且a1)，f(2)4，a24，a，f(x)|x|2|x|，f(2)f(1)3函数f(x)ax(a0，a1)的图象可能是()答案D解析函数f(x)的图象恒过(1,0)点，只有图象D适
3、合4已知0x2，则y32x5的最大值为_答案解析令t2x，0x2，1t4，又y22x132x5，yt23t5(t3)2，1t4，t1时，ymax.题型一指数幂的运算例1化简：(1) (a0，b0)；(2)()(0.002)10(2)1()0.思维点拨可先将根式化成分数指数幂，再利用幂的运算性质进行计算解(1)原式ab1.(2)原式110(2)11010201.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能
4、既有分母又含有负指数(1)化简(x0，y1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_答案(1)D(2)(，4解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.答案(1)(，2(2)解析(1)y2x1的图象过点(0,2)，y2x1m的图象过点(0,2m)，令2m0得m2.(2)当a1时，x0,2，y0，a21，a212，即a.当0a1时，x0,2，
5、ya21,0，此时定义域与值域不一致，无解综上，a.题型三指数函数的应用例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R上的函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围解(1)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同的交点，所
6、以方程有两解(2)当x0，2x2，即x1.当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t10，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，故m的取值范围是5，)思维升华对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数；解决有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构(1)如果函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为()A. B1C3 D.或3(2)若关于x的方程|ax1|2a (a0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A(0,1)(1，) B(0
7、,1)C(1，) D.答案(1)D(2)D解析(1)令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t，a，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)当0a0且a1)有两个实数根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点当0a1时，如图(1)，则02a1，即0a1时，如图(2)，而y2a1不符合要求综上，0a0，a1)在区间，0上有ymax3，ymin，试求a、b的值易错分析(1)误认为a1，只按一种情况求解，而忽略了0a1，函数f(x)at在1,0上为增函数，at，1，则bab，b1，依题意得解得7分(2)若0a1和0a
8、0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a0且a1)的图象必经过点()A(0,1) B(1,1)C(2,0) D(2,2)答案D解析a01，f(2)2，故f(x)的图象必过点(2,2)2已知a22.5，b2.50，c()2.5，则a，b，c的大小关系是()Aacb BcabCbac Dabc答案D解析a201，b1，cbc.3若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)得a2，a(a舍去)，即f(x)()|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递
9、增，在2，)上递减故选B.4已知函数f(x)是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是()A(，) B(，C，) D(，答案B解析由题意得a.5已知实数a，b满足等式2 015a2 016b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba1，则有ab0；(2)若t1，则有ab0；(3)若0t1，则有ab0.故可能成立，而不可能成立6若指数函数yax在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a_.答案解析若0a1，则aa11，即a2a10，解得a或a(舍去)综上所述a.7已知正数a满足a22a30，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为_答案mn解析a22a30，
10、a3或a1(舍)函数f(x)3x在R上递增，由f(m)f(n)，得mn.8若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析令axxa0即axxa，若0a1，yax与yxa的图象如图所示有两个公共点9已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若abf(x)时x的取值范围解(1)当a0，b0时，任意x1，x2R，x10a0b0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数当a0，b0，当a0时，x，则xlog1.5；当a0，b0时，x，则x0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(
11、1)试确定f(x)；(2)若不等式()x()xm0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)bax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，得a24，又a0且a1，a2，b3，f(x)32x.(2)由(1)知()x()xm0在(，1上恒成立可转化为m()x()x在(，1上恒成立令g(x)()x()x，则g(x)在(，1上单调递减，mg(x)ming(1)，故所求实数m的取值范围是(，B组专项能力提升(时间：25分钟)11设f(x)|3x1|，cbf(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是()A3c3b B3b3aC3c3a2 D3c3a2答案D解析画出函数f(x)的图象，易知c0.
12、又f(c)f(a)，|3c1|3a1|，13c3a1，3c3a0时，F(x)x2；当x0时，F(x)exx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是增函数，F(x)F(0)1，所以F(x)的值域为(，12，)13函数y的图象大致为()答案A解析y1，当x0时，e2x10，且随着x的增大而增大，故y11随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减又函数y是奇函数，故只有A正确14关于x的方程x有负数根，则实数a的取值范围为_答案解析由题意，得x0，所以0x1，从而01，解得a.15已知函数f(x)exex(xR且e为自然对数的底数)(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解(1)f(x)ex()x，且yex是增函数，y()x也是增函数，所以f(x)是增函数由于f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，所以f(x)是奇函数(2)存在满足题意的t.由(1)知f(x)是增函数和奇函数，所以f(xt)f(x2t2)0对一切xR恒成立f(x2t2)f(tx)对一切xR恒成立x2t2tx对一切xR恒成立t2tx2x对一切xR恒成立(t)2min对一切xR恒成立(t)20t.即存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切x都成立
