1、2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程课时过关能力提升基础巩固1抛物线y2=20x的焦点坐标是()A.(10,0)B.(5,0)C.(0,10)D.(0,5)答案:B2抛物线x=-2y2的准线方程是()A.y=B.y=C.x=D.x=答案:D3抛物线y=x2的准线方程是()A.2x+1=0B.4x+1=0C.2y+1=0D.4y+1=0解析:抛物线y=x2的标准形式为x2=y,则p=,且焦点在y轴正半轴上,故准线方程为y=-,即4y+1=0.答案:D4已知抛物线的准线方程是x=-3,则抛物线的标准方程为()A.x2=-12yB.y2=12xC.y2=-12xD.x2=12y解析:因为准线方程
2、为x=-3,所以焦点在x轴正半轴上,且=3,故2p=12.答案:B5设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析:由题意知点P到抛物线准线的距离为4-(-2)=6,由抛物线的定义知,点P到抛物线焦点的距离也是6.答案:B6已知M是抛物线y2=2px(p0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为()A.1B.1或4C.1或5D.4或5答案:B7已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.答案:28已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l:x=-2的距离相等,
3、则点P的轨迹方程为.答案:y2=8x9若点M到点F(0,-2)的距离比它到直线l:y-3=0的距离小1,则点M的轨迹方程是.解析:由题意,点M到点F(0,-2)的距离与它到直线l:y-2=0的距离相等,结合抛物线的定义可知,点M的轨迹是以点F(0,-2)为焦点、y=2为准线的抛物线,即x2=-8y.答案:x2=-8y10若抛物线y2=-2px(p0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线的方程和点M的坐标.解:由抛物线的定义知,焦点为F,则准线为x=.由题意,设点M到准线的距离为|MN|,则|MN|=|MF|=10,即-(-9)=10,解得p=2.故抛物线的方程为y2=-4
4、x,将M(-9,y)代入y2=-4x,解得y=6,则M(-9,6)或(-9,-6).能力提升1设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x解析:准线方程为x=-2,结合题意可知抛物线的方程为y2=2px(p0),且=2.p=4.抛物线的方程为y2=8x.答案:B2已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2解析:过焦点F且斜率为1的直线方程为y=x-,与抛物线方程联立可得y2-2py-
5、p2=0,则y1+y2=2p=4.于是p=2,故准线方程为x=-1.答案:B3设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F,且与y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为()A.y2=4xB.y2=8xC.y2=4xD.y2=8x解析:抛物线y2=ax(a0)的焦点F的坐标为,则直线l的方程为y=2,它与y轴的交点为A,故OAF的面积为=4,解得a=8.于是抛物线的方程为y2=8x,故选B.答案:B4若双曲线=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则m=.解析:抛物线的焦点为(3,0),则=3,且m0,故m=6.答案:65抛物线y=x2(a0)的焦点坐标为.
6、解析:抛物线y=x2的标准形式为x2=ay,故焦点在y轴上,坐标为.答案:6如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2 m,水面宽为4 m.水位下降1 m后,水面宽为 m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p0),由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,则抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=,故水面宽为2 m.答案:27已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.解:设抛物线的方程为y2=2px(p0)
7、,则其准线为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|+|BF|=8,x1+x2+=8,即x1+x2=8-p.Q(6, 0)在线段AB的垂直平分线上,|QA|=|QB|,即.又=2px1,=2px2,(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.AB与x轴不垂直,x1x2.则x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4.故抛物线方程为y2=8x.8已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+,求的值.解:(1)直线AB
8、的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,故x1+x2=.由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.故抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,则y1=-2,y2=4.故A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+(4,4)=(1+4,-2+4),又=8x3,即2(2-1)2=8(4+1),可得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.9学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如右图.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为=1,变轨(即航天
9、器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程.(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A,B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解:(1)设曲线方程为y=ax2+(a0),由题意可知0=a64+,即a=-.故曲线方程为y=-x2+.(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知解得y=4或y=-(不合题意,舍去),故y=4.当y=4时,x=6或x=-6(不合题意,舍去),则点C的坐标为(6,4),|AC|=2,|BC|=4.故当观测点A,B测得离航天器的距离分别为2,4时,应向航天器发出变轨指令.
